將以下每個多項式寫成標準形式。並寫出它們的次數。
(i) $x^2+3+6x+5x^4$
(ii) $a^2+4+5a^6$
(iii) $(x^3-1)(x^3-4)$
(iv) $(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})$
(v) $(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})$

已知

給定的表示式是

(i) $x^2+3+6x+5x^4$

(ii) $a^2+4+5a^6$

(iii) $(x^3-1)(x^3-4)$

(iv) $(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})$

(v) $(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})$

要求

我們需要將給定的多項式寫成標準形式，並找到它們的次數。

解答

多項式：

多項式是指每個項都是一個常數乘以一個變數的整數次冪的表示式。

多項式的標準形式是指按次數從高到低排列的項的多項式。

多項式的次數

多項式的次數是指多項式表示式中變數的最高次冪。

要找到次數，請確定每一項中變數的指數，並將它們加在一起以找到每一項的次數。

(i) 給定的多項式是 $x^2+3+6x+5x^4$。

給定多項式的標準形式是 $5x^4+x^2+6x+3$

在 $5x^4$ 中，$x$ 的冪是 $4$。

因此，

給定多項式的次數是 $4$。

(ii) 給定的多項式是 $a^2+4+5a^6$。

給定多項式的標準形式是 $5a^6+a^2+4$

在 $5a^6$ 中，$a$ 的冪是 $6$。

因此，

給定多項式的次數是 $6$。

(iii) 給定的多項式是 $(x^3-1)(x^3-4)$。

$(x^3-1)(x^3-4)=x^3(x^3-4)-1(x^3-4)$

$(x^3-1)(x^3-4)=x^6-4x^3-x^3+4$

$(x^3-1)(x^3-4)=x^6-5x^3+4$

給定多項式的標準形式是 $x^6-5x^3+4$

在 $x^6$ 中，$x$ 的冪是 $6$。

因此，

給定多項式的次數是 $6$。

(iv) 給定的多項式是 $(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})$。

$(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})=a^3(a^3+\frac{16}{17})-\frac{3}{8}(a^3+\frac{16}{17})$

$(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})=a^6+\frac{16}{17}a^3-\frac{3}{8}a^3-(\frac{3}{8})(\frac{16}{17})$

$(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})=a^6+\frac{16\times8-17\times3}{17\times8}a^3-\frac{3\times16}{8\times17}$

$(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})=a^6+\frac{128-51}{136}a^3-\frac{3\times2}{1\times17}$

$(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})=a^6+\frac{77}{136}a^3-\frac{6}{17}$

給定多項式的標準形式是 $a^6+\frac{77}{136}a^3-\frac{6}{17}$

在 $a^6$ 中，$a$ 的冪是 $6$。

因此，

給定多項式的次數是 $6$。

(v) 給定的多項式是 $(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})$。

$(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})=a(a+\frac{4}{3})+\frac{3}{4}(a+\frac{4}{3})$

$(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})=a^2+\frac{4}{3}a+\frac{3}{4}a+(\frac{4}{3})\times(\frac{3}{4})$

$(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})=a^2+\frac{4\times4+3\times3}{12}a+1$

$(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})=a^2+\frac{16+9}{12}a+1$

$(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})=a^2+\frac{25}{12}a+1$

給定多項式的標準形式是 $a^2+\frac{25}{12}a+1$

在 $a^2$ 中，$a$ 的冪是 $2$。

因此，

給定多項式的次數是 $2$。

Akhileshwar Nani

更新於： 2023年4月13日

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