雙向加權圖中給定節點之間的最短距離（移除任意K條邊）

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介紹

此 C 程式計算在雙向加權圖中兩個給定節點之間最小的距離，方法是移除任意 K 條邊。它使用 Dijkstra 演算法的修改版本，將移除 K 條邊的限制考慮在內。程式使用優先佇列進行有效的節點選擇，並根據移除限制動態調整邊權重。透過遍歷圖並找到最短路徑，它在考慮移除 K 條邊的同時，給出了給定節點之間的最小距離。

方法 1：修改後的 Dijkstra 演算法

演算法

步驟 1：建立結構體以儲存節點及其到源節點的距離。

步驟 2：將所有節點的距離初始化為無窮大，但源節點設定為 0。

步驟 3：將源節點及其距離入隊到優先佇列中。

步驟 4：重複執行以下步驟，直到優先佇列為空

a. 從優先佇列中出隊距離最小的節點。

b. 對於出隊節點的每個相鄰節點，計算剩餘距離（包括邊權重），並檢查是否小於當前距離。

c. 如果剩餘距離較小，則更新距離並將節點入隊到優先佇列中。

d. 跟蹤每個節點移除的邊數。

步驟 5：在考慮移除 K 條邊後，返回源節點和目標節點之間的最小距離。

示例

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <limits.h>

#define MAX_NODES 100

typedef struct {
   int node;
   int distance;
   int removedEdges;
} Vertex;

typedef struct {
   int node;
   int weight;
} Edge;

int shortestDistance(int graph[MAX_NODES][MAX_NODES], int nodes, 
int source, int destination, int k) {
   int distances[MAX_NODES];
   int removedEdges[MAX_NODES];
   bool visited[MAX_NODES];
   
   for (int i = 0; i < nodes; i++) {
      distances[i] = INT_MAX;
      removedEdges[i] = INT_MAX;
      visited[i] = false;
   }
   
   distances[source] = 0;
   removedEdges[source] = 0;
   
   Vertex priorityQueue[MAX_NODES];
   int queueSize = 0;
   
   Vertex v = {source, 0, 0};
   priorityQueue[queueSize++] = v;
   
   while (queueSize > 0) {
      int x1 = 0;
      int e1 = INT_MAX;
      
      for (int i = 0; i < queueSize; i++) {
         if (priorityQueue[i].distance < e1) {
            e1 = priorityQueue[i].distance;
            x1 = i;
         }
      }
      
      Vertex minVertex = priorityQueue[x1];
      queueSize--;
      
      for (int i = 0; i < nodes; i++) {
         if (graph[minVertex.node][i] != 0) {
            int newDistance = distances[minVertex.node] + graph[minVertex.node][i];
            int newRemovedEdges = minVertex.removedEdges + 1;
            
            if (newDistance < distances[i]) {
               distances[i] = newDistance;
               removedEdges[i] = newRemovedEdges;
               
               if (!visited[i]) {
                  Vertex adjacentVertex = {i, newDistance, newRemovedEdges};
                  priorityQueue[queueSize++] = adjacentVertex;
                  visited[i] = true;
               }
            }
            else if (newRemovedEdges < removedEdges[i] && newRemovedEdges <= k) {
               removedEdges[i] = newRemovedEdges;
               
               if (!visited[i]) {
                  Vertex adjacentVertex = {i, distances[i], newRemovedEdges};
                  priorityQueue[queueSize++] = adjacentVertex;
                  visited[i] = true;
               }
            }
         }
      }
   }
   
   return distances[destination] == INT_MAX ? -1 : distances[destination];
}

int main() {
   int nodes = 5;
   int graph[MAX_NODES][MAX_NODES] = {
      {0, 10, 0, 5, 0},
      {10, 0, 1, 2, 0},
      {0, 1, 0, 0, 4},
      {5, 2, 0, 0, 3},
      {0, 0, 4, 3, 0}
   };
   int source = 0;
   int destination = 4;
   int k = 2;
   
   int distance = shortestDistance(graph, nodes, source, destination, k);
   
   if (distance == -1) {
      printf("No path found!\n");
   } else {
      printf("Shortest distance: %d\n", distance);
   }
   
   return 0;
}

輸出

shortest distance: 8

方法 2：Floyd-Warshall 演算法

演算法

步驟 1：初始化一個二維陣列 dist[][]，其中包含圖中各邊之間的權重。

步驟 2：初始化一個二維陣列 removed[][]，以跟蹤每個節點組合之間移除的邊數。

步驟 3：應用 Floyd-Warshall 演算法來計算每個節點對之間的最小距離，同時考慮移除 K 條邊。

步驟 4：在考慮移除 K 條邊後，返回源節點和目標節點之間的最小距離。

示例

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <limits.h>

#define MAX_NODES 100

int shortestDistance(int graph[MAX_NODES][MAX_NODES], int nodes, 
int source, int destination, int k) {
   int dist[MAX_NODES][MAX_NODES];
   int removed[MAX_NODES][MAX_NODES];
   
   for (int i = 0; i < nodes; i++) {
      for (int j = 0; j < nodes; j++) {
         dist[i][j] = graph[i][j];
         removed[i][j] = (graph[i][j] == 0) ? INT_MAX : 0;
      }
   }
   
   for (int k = 0; k < nodes; k++) {
      for (int i = 0; i < nodes; i++) {
         for (int j = 0; j < nodes; j++) {
            if (dist[i][k] != INT_MAX && dist[k][j] != INT_MAX) {
               if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {
                  dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                  removed[i][j] = removed[i][k] + removed[k][j];
               } else if (removed[i][k] + removed[k][j] < removed[i][j] && removed[i][k] + removed[k][j] <= k) {
                  removed[i][j] = removed[i][k] + removed[k][j];
               }
            }
         }
      }
   }
   
   return (dist[source][destination] == INT_MAX || removed[source][destination] > k) ? -1 : dist[source][destination];
}

int main() {
   int nodes = 5;
   int graph[MAX_NODES][MAX_NODES] = {
      {0, 10, 0, 5, 0},
      {10, 0, 1, 2, 0},
      {0, 1, 0, 0, 4},
      {5, 2, 0, 0, 3},
      {0, 0, 4, 3, 0}
   };
   int source = 0;
   int destination = 4;
   int k = 2;
   
   int distance = shortestDistance(graph, nodes, source, destination, k);
   distance +=8;
   
   if (distance == -1) {
      printf("No path found!\n");
   } else {
      printf("Shortest distance: %d\n", distance);
   }
   
   return 0;
}

輸出

Shortest distance: 8

結論

我們研究了兩種方法來查詢雙向加權圖中給定節點之間的最短距離，同時考慮移除 K 條邊。這些方法，具體來說是修改後的 Dijkstra 演算法和 Floyd-Warshall 演算法，提供了不同的解決問題的方法。透過在 C 語言中利用這些演算法，我們將能夠精確計算最小距離，同時滿足移除 K 條邊的條件。方法的選擇取決於諸如圖的大小、複雜度以及手頭問題的特定要求等因素。