樣本空間

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介紹

在日常生活中，我們遇到各種具有多種結果的活動。雖然我們無法預測確切的結果，但我們可以估計該事件或活動的所有可能結果。在本教程中，我們將討論樣本空間、一些特殊事件及其可能的結果，並附帶解題示例。

樣本空間

樣本空間是機率論的一個概念，它是隨機事件或實驗所有可能結果的集合。樣本空間用集合符號表示，通常用 S 表示。此外，它也可以用 U（全集）或 𝛺 表示。樣本空間包含數字、單詞、字母或符號。

同時拋擲 n 枚硬幣的樣本空間，n = 2, 3, 4, 5

一枚硬幣有兩面，即正面和反面。讓我們將正面表示為“H”，反面表示為“T”。

同時拋擲兩枚硬幣 -

同時拋擲兩枚硬幣的可能結果如下 $\mathrm{S\:=\:\lbrace\:(H\:,\:H)\:,\:(H\:,\:T)\:,\:(T\:,\:H)\:,\:(T\:,\:T)\:\rbrace\:}$

$\mathrm{結果數\:=\:4(2^{2})\:(如圖所示)}$.

同時拋擲三枚硬幣 -

同時拋擲三枚硬幣的可能結果如下。

$\mathrm{S\:=\:\lbrace\:(H\:,\:H\:,\:H)\:,\:(H\:,\:H\:,\:T)\:,\:(H\:,\:T\:,\:H)\:,\:(H\:,\:T\:,\:T)\:,\:(T\:,\:H\:,\:H)\:,\:(T\:,\:H\:,\:T)\:,\:(T\:,\:T\:,\:H)\:,\:(T\:,\:T\:,\:T)\rbrace}$

$\mathrm{結果數\:=\:8(2^{3})}$

同時拋擲四枚硬幣 -

同時拋擲四枚硬幣的可能結果如下。

$\mathrm{(H\:,\:H\:,\:H\:,\:H)\:,\:(H\:,\:H\:,\:H\:,\:T)\:,\:(H\:,\:H\:,\:T\:,\:H),(H\:,\:H\:,\:T\:,\:T)\:,\:(H\:,\:T\:,\:H\:,\:H)\:,\:(H\:,\:T\:,\:H\:,\:T)\:,\:(H\:,\:T\:,\:T\:,\:T)\:,\:(H\:,\:H\:,\:T\:,\:T)\:,\:(T\:,\:H\:,\:H\:,\:H)\:,\:(T\:,\:T\:,\:H\:,\:H)\:,\:(T\:,\:H\:,\:T\:,\:H)\:,\:(T\:,\:H\:,\:H\:,\:T)\:,\:(T\:,\:T\:,\:T\:,\:H)\:,\:(T\:,\:T\:,\:H\:,\:T)\:,\:(T\:,\:H\:,\:T\:,\:T)\:,\:(T\:,\:T\:,\:T\:,\:T)}$

$\mathrm{結果數\:=\:16(2^{4})}$

同時拋擲五枚硬幣 -

同時拋擲五枚硬幣的可能結果如下。

$\mathrm{\lbrace\:(H\:,\:H\:,\:H\:,\:H\:,\:H)\:,\:(H\:,\:H\:,\:H\:,\:H\:,\:T)\:,\:(H\:,\:H\:,\:H\:,\:T\:,\:T)\:,\:(H\:,\:H\:,\:T\:,\:T\:,\:T)\:,\:(H\:,\:T\:,\:T\:,\:T\:,\:T)\:,\:(T\:,\:T\:,\:T\:,\:T\:,\:T)\:,\:(T\:,\:T\:,\:T\:,\:T\:,\:H)\:,\:(T\:,\:T\:,\:T\:,\:H\:,\:H)\:,\:(T\:,\:T\:,\:H\:,\:H\:,\:H)\:,\:(T\:,\:H\:,\:H\:,\:H)\:,\:(H\:,\:T\:,\:H\:,\:T\:,\:H)\:,\:(T\:,\:H\:,\:T\:,\:H\:,\:T)\:,\:(H\:,\:H\:,\:T\:,\:H\:,\:H)\:,\:(T\:,\:T\:,\:H\:,\:T\:,\:T)\:,\:(H\:,\:T\:,\:T\:,\:H\:,\:T)\:,\:(T\:,\:H\:,\:H\:,\:T\:,\:H)\:,\:(T\:,\:H\:,\:H\:,\:H\:,\:T)\:,\:(H\:,\:T\:,\:T\:,\:T\:,\:H)\:,\:(T\:,\:H\:,\:H\:,\:T\:,\:T)\:,\:(H\:,\:T\:,\:T\:,\:H\:,\:H)\:,\:(H\:,\:H\:,\:T\:,\:T\:,\:H)\:,\:(T\:,\:T\:,\:H\:,\:H\:,\:T)\:,\:(T\:,\:T\:,\:H\:,\:T\:,\:H)\:,\:(H\:,\:H\:,\:T\:,\:H\:,\:T)\:,\:(H\:,\:T\:,\:H\:,\:T\:,\:T)\:,\:(T\:,\:H\:,\:T\:,\:H\:,\:H)\:,\:(T\:,\:H\:,\:T\:,\:H\:,\:H)\:,\:(T\:,\:H\:,\:T\:,\:T\:,\:H)\:,\:(H\:,\:T\:,\:H\:,\:H\:,\:T)\:,\:(H\:,\:T\:,\:H\:,\:T\:,\:T)\:,\:(T\:,\:H\:,\:T\:,\:H\:,\:H)\:,\:(H\:,\:H\:,\:H\:,\:T\:,\:H)\:,\:(T, T\:,\:T\:,\:H\:,\:T)\:\rbrace }$

$\mathrm{結果數\:=\:32(2^{5})}$

同時拋擲 2 個骰子的樣本空間

如果同時拋擲兩個骰子，我們將得到 36 個結果，如下所示 -

$\mathrm{S\:=\:\lbrace\:(1\:,\:1)\:,\:(1\:,\:2)\:,\:(1\:,\:3)\:,\:(1\:,\:4)\:,\:(1\:,\:5)\:,\:(1\:,\:6)\:,\:(2\:,\:1)\:,\:(2\:,\:2)\:,\:(2\:,\:3)\:,\:(2\:,\:4)\:,\:(2\:,\:5)\:,\:(2\:,\:6)\:,\:(3\:,\:1)\:,\:(3\:,\:2)\:,\:(3\:,\:3)\:,\:(3\:,\:4)\:,\:(3\:,\:5)\:,\:(3\:,\:6)\:,\:(4\:,\:1)\:,\:(4, 2)\:,\:(4\:,\:3)\:,\:(4\:,\:4)\:,\:(4\:,\:5)\:,\:(4\:,\:6)\:,\:(5,1)\:,\:(5\:,\:2)\:,\:(5\:,\:3)\:,\:(5\:,\:4)\:,\:(5\:,\:5)\:,\:(5\:,\:6)\:,\:(6\:,\:1)\:,\:(6\:,\:2)\:,\:(6\:,\:3)\:,\:(6\:,\:4)\:,\:(6\:,\:5)\:,\:(6\:,\:6)\rbrace\:.}$

同時拋擲 1、2、3 枚硬幣和 1 個骰子的樣本空間

讓我們考慮拋擲一枚硬幣和一個骰子的事件。可能的結果將是

$\mathrm{S\:=\:\lbrace\:(H\:,\:1)\:,\:(2\:,\:H)\:,\:(3\:,\:H)\:,\:(4\:,\:H)\:,\:(5\:,\:H)\:,\:(6\:,\:H)\:,\:(1\:,\:T)\:,\:(2\:,\:T)\:,\:(3\:,\:T)\:,\:(4\:,\:T)\:,\:(5\:,\:T)\:,\:(6, H)\:\rbrace\:.}$

$\mathrm{結果總數\:=\:2\:\times\:6\:=\:12}$

讓我們考慮拋擲兩枚硬幣和一個骰子的事件。可能的結果將是

$\mathrm{S\:=\:\lbrace\:(H\:,\:H\:,\:1)\:,\:(H\:,\:H\:,\:2)\:,\:(H\:,\:H\:,\:3)\:,\:(H\:,\:H\:,\:4)\:,\:(H\:,\:H\:,\:5)\:,\:(H\:,\:H\:,\:6)\:,\:(T\:,\:T\:,\:1)\:,\:(T\:,\:T\:,\:2)\:,\:(T\:,\:T\:,\:3)\:,\:(T\:,\:T\:,\:4)\:,\:(T\:,\:T\:,\:5)\:,\:(T\:,\:T\:,\:6)\:,\:(T\:,\:H\:,\:1)\:,\:(T\:,\:H\:,\:2)\:,\:(T\:,\:H\:,\:3)\:,\:(T\:,\:H\:,\:4)\:,\:(T\:,\:H\:,\:5)\:,\:(T\:,\:H\:,\:6)\:,\:(H\:,\:T\:,\:1)\:,\:(H\:,\:T\:,\:2)\:,\:(H\:,\:T\:,\:3)\:,\:(H\:,\:T\:,\:4)\:,\:(H\:,\:T\:,\:5)\:,\:(H\:,\:T\:,\:6)\rbrace\:.}$

$\mathrm{結果總數\:=\:2\times\:2\times\:6\:=\:24}$

讓我們考慮拋擲三枚硬幣和一個骰子的事件

$\mathrm{結果總數\:=\:2\times\:2\times\:2\times\:6\:=\:48}$

$\mathrm{S\:=\:\lbrace\:(H\:,\:H\:,\:H\:,\:1)\:,\:(H\:,\:H\:,\:H\:,\:2)\:,\:(H\:,\:H\:,\:H\:,\:3)\:,\:(H\:,\:H\:,\:H\:,\:4)\:,\:(H\:,\:H\:,\:H\:,\:5)\:,\:(H\:,\:H\:,\:H\:,\:6)\:,\:(H\:,\:H\:,\:T\:,\:1)\:,\:(H\:,\:H\:,\:T\:,\:2)\:,\:(H\:,\:H\:,\:T\:,\:3)\:,\:(H\:,\:H\:,\:T\:,\:4)\:,\:(H\:,\:H\:,\:T\:,\:5)\:,\:(H\:,\:H\:,\:T\:,\:6)\:,\:(H\:,\:T\:,\:H\:,\:1)\:,\:(H\:,\:T\:,\:H\:,\:2)\:,\:(H\:,\:T\:,\:H\:,\:3)\:,\:(H\:,\:T\:,\:H\:,\:4)\:,\:(H\:,\:T\:,\:H\:,\:5)\:,\:(H\:,\:T\:,\:H\:,\:6)\:,\:(H\:,\:T\:,\:T\:,\:1)\:,\:(H\:,\:T\:,\:T\:,\:2)\:,\:(H\:,\:T\:,\:T\:,\:3)\:,\:(H\:,\:T\:,\:T\:,\:4)\:,\:(H\:,\:T\:,\:T\:,\:5)\:,\:(H\:,\:H\:,\:T\:,\:6)\:,\:(T\:,\:H\:,\:H\:,\:1)\:,\:(T\:,\:H\:,\:H\:,\:2)\:,\:(T\:,\:H\:,\:H\:,\:3)\:,\:(T\:,\:H\:,\:H\:,\:4)\:,\:(T\:,\:H\:,\:H\:,\:5)\:,\:(T\:,\:H\:,\:H\:,\:6)\:,\:(T\:,\:H\:,\:T\:,\:1)\:,\:(T\:,\:H\:,\:T\:,\:2)\:,\:(T\:,\:H\:,\:T\:,\:3)\:,\:(T\:,\:H\:,\:T\:,\:4)\:,\:(T\:,\:H\:,\:T\:,\:5)\:,\:(T\:,\:H\:,\:T\:,\:6)\:,\:(T\:,\:T\:,\:H\:,\:1)\:,\:(T\:,\:T\:,\:H\:,\:2)\:,\:(T\:,\:T\:,\:H\:,\:3)\:,\:(T\:,\:T\:,\:H\:,\:4)\:,\:(T\:,\:T\:,\:H\:,\:5)\:,\:(T\:,\:T\:,\:H\:,\:6)\:,\:(T\:,\:T\:,\:T\:,\:1)\:,\:(T\:,\:T\:,\:T\:,\:2)\:,\:(T\:,\:T\:,\:T\:,\:3)\:,\:(T\:,\:T\:,\:T\:,\:4)\:,\:(T\:,\:T\:,\:T\:,\:5)\:,\:(T\:,\:T\:,\:T\:,\:6)\:\rbrace\:}$

事件

事件定義為樣本空間的子集。事件是在試驗中發生的特定事件。例如，拋硬幣時得到正面是一個事件的例子。

$\mathrm{事件\:=\:E\:=\:\lbrace\:\:\rbrace\:}$

$\mathrm{S\:=\:\lbrace\:所有可能的結果\:\rbrace\:}$

機率

在數學中，機率被定義為對事件發生可能性進行的數值描述。換句話說，它說明了事件發生的可能性。機率的數值介於 0 和 1 之間。機率值越高，事件發生的可能性就越大。機率的概念廣泛應用於科學、金融、人工智慧、博弈論、計算機科學等領域。

解題示例

示例 1

拋硬幣時，正面和反面的機率是多少？

解答 -

$\mathrm{正面機率\:=\:\frac{1}{2}}$

$\mathrm{反面機率\:=\:\frac{1}{2}}$

示例 2

給定區間 [1, 12] 的樣本空間是什麼？

解答 -

由於該區間是閉區間，因此數字 1 和 12 也包含在樣本空間中。

因此，樣本空間為 $\mathrm{=\:S\:=\:\lbrace\:1\:,\:2\:,\:3\:,\:4\:,\:5\:,\:6\:,\:7\:,\:8\:,\:9\:,\:10\:,\:11\:,\:12\:\rbrace\:}$

結論

本文簡要介紹了樣本空間。描述了事件和樣本空間之間的基本區別，並附帶各種示例。此外，還確定了各種知名事件的樣本空間。總之，本文可能有助於理解樣本空間的基本概念。

常見問題

1. 如果一個骰子拋擲三次，結果數是多少？

如果一個骰子拋擲三次，結果數為 $\mathrm{=\:6\:\times\:6\:\times\:6\:=\:216}$.

2. 機率有哪些應用？

機率的概念廣泛應用於科學、金融、人工智慧、博弈論、計算機科學等領域。

3. 表示樣本空間的可能方法有哪些？

樣本空間可以用三種方式表示為

• 表格形式

• 列表形式

• 樹狀圖

4. 機率值可以大於 1 嗎？

不可以，因為機率的最大值為 1。因此，它總是小於 1。

5. 如果一枚硬幣拋擲 6 次，結果數是多少？

如果一枚硬幣拋擲 6 次，結果數為 $\mathrm{2^{6}\:=\:64}$.