總體和樣本

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簡介

• 在統計數學中，總體可以指一組觀察值或物件。

• 在統計學和定量方法中，總體可以定義為滿足特定條件的資料集合。

• 樣本可以定義為從總體中抽取的一組觀察值。

• 樣本量始終小於總體量。

• 非機率抽樣可以進一步細分為**配額抽樣、判斷抽樣**和**目的抽樣**。

• 總體和樣本被廣泛應用於市場研究中，用於推斷總體的行為。

• 財務決策中的統計分析也實現了總體和樣本。在本教程中，我們將學習總體、總體型別、樣本、樣本型別以及基於總體和樣本的公式，例如平均偏差、標準差和方差。

總體

統計學和研究中的總體是由引數定義的元素集合。通常，“總體”一詞與特定地區、國家或州的人群相關聯。例如，德里市的汽車展廳數量或特定區域的雜貨店數量。

總體型別

根據資料的數學特徵，總體可以分為四種類型：

• 有限總體

• 無限總體

• 現有總體

• 假設總體

有限總體

顧名思義，有限總體是可以計數的總體的集合。換句話說，有限的總體集合被定義為有限總體。處理有限總體比處理無限總體更容易。例如，特定產品的線上消費者、使用 Wi-Fi 的人、州政府僱員等。

無限總體

無限總體可以描述為不可計數的總體的集合。換句話說，具有無限多個元素的集合被稱為**無限總體**。例如，空氣中的細菌數量、人體內的微生物數量、生物體中的細胞數量等。

現有總體

現有總體可以描述為一組元素，其存在是明確的或已知的，並且可以描述為一定數量的單位。換句話說，現有總體是具體元素的集合。例如，一個班級的學生人數、一個學院的計算機數量等。

假設總體

假設總體可以描述為一組元素，其存在不明確或未知，並且不能描述為一定數量的單位。換句話說，假設總體是假設觀察值的集合。有時，總體的元素可能是假設的，例如，從一堆卡片中選擇一張卡片、比賽的結果等。

樣本

樣本是從總體中抽取的一組元素。它是總體的子集或代表總體。總體中的樣本是基於機率推匯出來的。例如，2022 年在印度製造的汽車集合是自 1990 年以來在印度製造的汽車樣本。

抽樣型別

抽樣基於兩種型別：

• 機率抽樣

• 非機率抽樣

機率抽樣

機率抽樣是根據總體中某個引數的機率選擇樣本量。機率抽樣技術的型別如下：

• 簡單隨機抽樣

• 整群抽樣

• 分層抽樣

• 不按比例抽樣

• 按比例抽樣

• 最優配置分層抽樣

• 多階段抽樣

非機率抽樣

非機率抽樣可以定義為完全根據抽樣人員或使用者的自由裁量權選擇元素的過程。這種型別的抽樣不需要有任何選擇總體的理論依據。非機率抽樣的型別如下：

• 配額抽樣

• 判斷抽樣

• 目的抽樣

	總體	樣本
含義	具有相似特徵的物件或觀察值的集合。	總體的子集。
包括	代表組的每個元素。	代表總體的子單元
特徵	“引數”用於描述總體	“統計量”用於描述樣本
資料收集	它通常是整個總體的普查或列舉記錄	資料用於對特定特徵進行調查或抽樣。
重點關注	收集用於識別總體的特徵。	樣本用於推斷總體的特徵。

公式

讓我們討論一些與總體和樣本相關的公式。對於大小為“n”的總體，其中“n-1”為樣本量，平均絕對偏差 (MAD)、方差和標準差的公式如下：

總體平均絕對偏差$\mathrm{=\frac{1}{n} ∑_{i=1}^n |x_i-x̄ |}$

樣本平均絕對偏差$\mathrm{=\frac{1}{n-1} ∑_{i=1}^n |x_i-x̄ |}$

總體方差 $\mathrm{(σx)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-x̄)^2}$

樣本方差 $\mathrm{(Sx)^2=\frac{1}{(n-1)} \sum_{i=1}^n (x_i-x̄)^2}$

總體標準差 $\mathrm{σx=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-x̄)^2}}$

樣本標準差 $\mathrm{Sx=\sqrt{\frac{1}{(n-1)} \sum_{i=1}^n (x_i-x̄)^2}}$

解題示例

1.求觀測值集合 {12,15,14,18,6} 的總體方差。

解：根據給定資料，我們可以確定

$$\mathrm{n=5}$$

$$\mathrm{x̄=(12+15+14+18+6)/5}$$

$$\mathrm{x̄=13}$$

總體方差 $\mathrm{=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-x̄)^2}$

$$\mathrm{=\frac{1}{5}[(12-13)^2+(15-13)^2+(14-13)^2+(18-13)^2+(6-13)^2]}$$

$$\mathrm{=\frac{1}{5}[(-1)^2+(2)^2+(1)^2+(5)^2+(7)^2]}$$

$$\mathrm{=\frac{1}{5}[1+4+1+25+49]}$$

$$\mathrm{=\frac{1}{5}[80]}$$

總體方差=16

2.計算資料集 {6,15,18,11,20} 的樣本標準差。

解：根據給定資料，我們可以確定

$$\mathrm{n=5}$$

$$\mathrm{x̄=(6+15+18+11+20)/5}$$

$$\mathrm{x̄=14}$$

樣本標準差 $\mathrm{Sx=\sqrt{\frac{1}{(n-1)} \sum_{i=1}^n (x_i-x̄)^2}}$

$\mathrm{Sx=\sqrt{\frac{1}{(n-1)} \sum_{i=1}^n (x_i-x̄)^2}}$

$\mathrm{Sx=\sqrt{\frac{1}{4}[(6-14)^2+(15-14)^2+(18-14)^2+(11-14)^2+(20-14)^2]}}$

$\mathrm{Sx=\sqrt{\frac{1}{4}[(-8)^2+(1)^2+(4)^2+(-3)^2+(6)^2]}}$

$\mathrm{Sx=\sqrt{\frac{1}{4}[64+1+16+9+36]}}$

$\mathrm{Sx=\sqrt{\frac{1}{4}[126]}}$

樣本標準差 $\mathrm{=\sqrt{\frac{1}{4}[126]}}$

結論

統計學和研究中的總體是由引數定義的元素集合。例如，德里市的汽車展廳數量或特定區域的雜貨店數量。樣本可以定義為從總體中抽取的一組觀察值，例如學校裡9年級的學生。根據數學特徵，總體可以分為四種類型：有限總體、無限總體、現有總體和假設總體。樣本可以分為兩種型別：機率抽樣和非機率抽樣。機率抽樣可以進一步細分為簡單隨機抽樣、整群抽樣、分層抽樣、不按比例抽樣、按比例抽樣、最優配置分層抽樣和多階段抽樣。非機率抽樣可以進一步細分為配額抽樣、判斷抽樣和目的抽樣。總體和樣本被廣泛應用於市場研究中，用於推斷總體的行為。財務決策中的統計分析也實現了總體和樣本。

常見問題

1.關於樣本，統計量是什麼？

統計量是從總體中抽取樣本所依據的度量。

2.關於總體，引數是什麼？

引數是描述總體的工具。

3.什麼是抽樣誤差？

總體引數與樣本統計量之間的差異稱為抽樣誤差。

4.總體型別有哪些？

根據數學特徵，總體有四種類型：有限總體、無限總體、現有總體和假設總體。

5.機率樣本型別有哪些？

機率抽樣型別：簡單隨機抽樣、整群抽樣、分層抽樣、不比例抽樣、比例抽樣、最佳配置分層抽樣和多階段抽樣。