有理函式與有理數

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引言

有理數的標準形式可以定義為：被除數和除數之間除了1以外沒有其他公因數，且除數為正數。

被除數和除數之間只有一個公因數1。因此可以說，有理數$\mathrm{\frac{1}{3}}$ 處於標準形式。

有理數

要確定一個數是否為有理數，請檢查以下條件：它可以表示為$\mathrm{\frac{p}{q}}$的形式，其中q ≠ 0。比率$\mathrm{\frac{p}{q}}$ 已被進一步簡化，並且可以表示為十進位制格式。

有理函式

有理函式是多項式的比率，其分母多項式不能為零。你知道有理函式被應用於我們日常生活中的各個領域嗎？

例如，$\mathrm{g (x) =\frac{(x^2 + x^{-2})}{(2x^2-2x^{-3})}}$ 是一個有理函式，其中 2x²-2x^-3)≠ 0。

眾所周知，常數是一個多項式，因為它是一個常數。

有理函式的影像

繪製有理函式影像：

• 用虛線標識並繪製垂直漸近線。

• 用虛線標識並繪製水平漸近線。

• 繪製空洞（如果存在）。

• 繪製所有點，然後連線它們。

漸近線

有理函式中有三種類型的漸近線：水平漸近線、垂直漸近線和斜漸近線。除此之外，它還可能存在空洞。讓我們看看如何找到每一個。

有理函式的空洞

有理函式的空洞似乎存在於有理函式圖中，但實際上並不存在。這些可以透過將線性因子（即函式的分子和分母的公因數）設定為零並求解x來獲得。您可以透過在一個簡化函式中賦值x值來找到點的相應y座標。並非所有有理函式都需要有空洞。只有當分子和分母具有線性公約數時，才會出現空洞。

有理函式的垂直漸近線

函式的垂直漸近線 (VA) 是一條虛構的垂直線，圖形似乎非常接近它，但永遠不會接觸到它。x = 可以是任何數字格式。這裡，“某些數字”與從定義域中排除的值密切相關。但是，請記住，如果x = 數字，如果在相同數字處存在空洞，則可能不存在垂直漸近線。有理函式可以有一個或多個垂直漸近線。要找到有理函式的垂直漸近線：

首先，簡化函式以消除公因數（如果存在）。

將分母設定為0並求解 (x)（或等效地獲得從定義域中排除的值，避免空洞）

有理函式的水平漸近線

水平漸近線 (HA) 是一條虛構的水平線，圖形似乎非常接近它，但永遠不會接觸到它。y = 任何數字格式。這裡，“任意數字”與從值域中排除的值密切相關。找到有理函式的水平漸近線的一種簡單方法是使用分子 (N) 和分母 (D) 的階數。

• 如果 N < D，則 y = 0 有 HA。

• 如果 N > D，則沒有 HA。

• 如果 N = D，則 HA 等於 y = 首項係數的比率。

有理函式的斜漸近線

斜漸近線也是一條虛構的斜線，似乎與圖形的一部分相切。該方程是使用 y = 長除法將分子除以分母的商。

有理數和有理函式的比較

術語“分數”和“有理數”密切相關，但它們在幾個方面有所不同。請注意，“分數總是構成有理數，但有理數可能構成分數，也可能不構成分數”。

分數和有理數的定義

分數是$\mathrm{\frac{a}{b}}$形式的任意數，其中“a”和“b”都是整數，且b ≠ 0。

另一方面，有理數是$\mathrm{\frac{p}{q}}$形式的數，其中“p”和“q”都是整數，q ≠ 0。

因此，分數寫成$\mathrm{\frac{m}{n}}$的形式。其中n不為0，m & n為整數（或一個整數）。

例如：23.12、32.10、10.12、21.04。有理數可以表示為$\mathrm{\frac{a}{b}}$的形式。其中b不為0，a & b為整數。例如，$\mathrm{\frac{1}{4},\frac{-9}{2},\frac{-12}{8}}$。

有理分數

• 以有理分數$\mathrm{\frac{a}{b}}$的形式描述。其中a和b為整數，且b ≠ 0。

• 所有分數都是有理數。

• 例如：$\mathrm{\frac{1}{2},\frac{1}{8},\frac{6}{4}}$ 等。

有理數

• 以有理數$\mathrm{\frac{p}{q}}$的形式描述。其中$\mathrm{p,q\in Z}$，q ≠ 0。

• 並非所有有理數都是分數。

• 有理數的例子有$\mathrm{\frac{1}{4},\frac{-9}{2},\frac{-12}{8}}$ 等。

例題解析

1.求反函式：$\mathrm{\mathit{f}(x) =\frac{(2x - 1)}{(x + 3)}}$

解答

已知：

$$\mathrm{y=\frac{(2x - 1)}{(x + 3)}}$$

交換x和y：

$$\mathrm{x=\frac{(2y - 1)}{(y + 3)}}$$

現在：

$$\mathrm{x(y + 3) = 2y - 1}$$

$$\mathrm{xy + 3x = 2y - 1}$$

$$\mathrm{3x + 1 = 2y - xy}$$

$$\mathrm{3x + 1 = y (2 - x)}$$

$$\mathrm{y =\frac{(3x + 1)}{(2 - x)} = \mathit{f}^{-1} (x)}$$

$$$$

$$$$

2. 給定函式$\mathrm{\mathit{f}(x) =\frac{2 (x + 3)}{(x + 3)}+[\frac{1}{(x +3)}]}$。說明其是否為有理函式並說明理由。

解答

這裡，函式為：

$$\mathrm{\mathit{f}(x) =\frac{2 (x + 3)}{(x + 3)}+[\frac{1}{(x +3)}]}$$

$$\mathrm{=\frac{2x + 7}{(x + 3)}}$$

$\mathrm{=\frac{p(x)}{q(x)}}$，這裡，p(x) 和 q(x) 都是多項式。

結論

在數學中，有理數是我們在學習中最常見的數型別之一，緊隨整數之後。“Ratio”（比率）正是它的名稱來源。因此，有理數與比率的概念有著密切的聯絡。

有理數的形式為$\mathrm{\frac{p}{q}}$，其中p和q都是整數，且q不為零。Q是rational number（有理數）的縮寫。

$\mathrm{\frac{p}{q}}$形式的數字使得區分分數和有理數變得困難。分數由整數構成，而有理數的分子和分母由整數構成。

常見問題

1. 分數是有理數嗎？

所有分數都是有理數，但並非所有有理數都是分數。

2. 區分有理分數和有理數？

分數用整數比率 a/b 表示，其中 b ≠ 0。

有理數用比率 p/q 表示。其中分子和分母是整數，q ≠ 0。

3. 有理數和分數的例子是什麼？

有理數的例子有$\mathrm{\frac{1}{4},\frac{-9}{2},\frac{-12}{8}}$等等。分數的例子有$\mathrm{\frac{1}{2},\frac{1}{8},\frac{6}{4}}$等等。

4. 舉出真分數和假分數的例子。

真分數是指分母大於分子的分數。例如，$\mathrm{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}}$ 等。假分數是指分子大於分母的分數，例如 $\mathrm{\frac{3}{2},\frac{5}{4},\frac{7}{6}}$ 等。

5. 兩個有理數$\mathrm{\frac{2}{5}}$和$\mathrm{\frac{-3}{4}}$中哪個更大？

給定的有理數是$\mathrm{\frac{2}{5}}$和$\mathrm{\frac{-3}{4}}$。我們清楚地知道，在正有理數和負有理數之間，正有理數總是更大。因此，$\mathrm{\frac{2}{5}}$大於$\mathrm{\frac{-3}{4}}$。