位置數字系統

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數字是一種用於表示算術值、度量或物理量的計數的方法。數字系統被定義為命名和表示數字的方法。數字系統的概念有助於定義與數字相關的規則以及數字的不同運算。

數字系統由其基數或底數確定。數字系統的基數或底數只不過是數字系統中用於表示不同數字的符號總數。例如，在十進位制數字系統中，有 10 個符號，即 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。因此，十進位制數字系統的基數或底數為 10。

數字系統大致分為兩種型別，即 -

• 位置數字系統

• 非位置數字系統

在本文中，我們將詳細討論位置數字系統。所以讓我們從位置數字系統的基本介紹開始。

什麼是位置數字系統？

位置數字系統是一種數字系統，其中數字（或符號）的權重或值取決於其在數字中的位置。位置數字系統也稱為加權數字系統。這是因為，在位置數字系統中，數字的位置與一個權重相關聯。

因此，在位置數字系統中，數字的每個數字根據其在數字中出現的位置進行加權。當我們沿著數字向左移動時，權重以等於數字系統基數的常數因子增加。此外，在位置數字系統中，使用基點 (.) 來區分對應於整數權重的位置和對應於分數權重的位置。

位置數字系統的型別

有四個非常流行的位置數字系統，它們是

• 十進位制數字系統

• 二進位制數字系統

• 八進位制數字系統

• 十六進位制數字系統

讓我們詳細討論每個數字系統。

十進位制數字系統

十進位制數字系統是我們最熟悉的數字系統。它被稱為十進位制數字系統，因為它的基數或底數為十 (10)。這意味著它有 10 個獨特的符號，即 0、1、2、3、4、5、6、7、8 和 9 來表示系統中的不同數字。此外，其基數（即十）沒有符號。

十進位制數字系統是一種位置或加權數字系統。因此，在此數字系統中，符號的值取決於其相對於小數點或基點的位 置（或位置）。

在十進位制數字系統中，任何數字，無論是整數、分數還是混合數，無論大小，都可以僅使用這十個符號來表示。每個符號都稱為數字。

在十進位制數中，最左邊的數字在數字中所有數字中具有最大的位置權重，這稱為MSD（最高有效位）。另一方面，最右邊的數字在數字中所有數字中具有最小的位置權重，稱為LSD（最低有效位）。

在十進位制數字系統中，小數點左側的數字構成十進位制數的整數部分，而小數點右側的數字構成數字的小數部分。十進位制數的整數部分中的數字的權重為 10（基數）的正冪，而十進位制數的小數部分中的數字的權重為 10 的負冪。

十進位制數通常表示為，

$$\mathrm{d_nd_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0\cdot d_{-1}d_{-2}...d_{-m}}$$

此數字的值計算如下：

$$\mathrm{(d_n\times 10^n)+(d_{n-1}\times 10^{n-1})+(d_{n-2}\times 10^{n-2})+...+(d_1\times 10^1)+(d_0\times 10^0)+(d_{-1}\times 10^{-1})+(d_{-2}\times 10^{-2})+...+(d_{-m}\times 10^{-m})}$$

例如，考慮十進位制數 512.26，則

$$\mathrm{5\times 10^2+1\times 10^1+2\times 10^0+2\times 10^{-1}+6\times 10^{-2}}$$

所以，

$$\mathrm{500 + 10 + 2 + 0.2 + 0.06}$$

考慮另一個具有相同數字的十進位制數 125.62，則它可以擴充套件為，

$$\mathrm{1\times 10^2+2\times 10^1+5\times 10^0+6\times 10^{-1}+2\times 10^{-2}}$$

或者，

$$\mathrm{100 + 20 + 5 + 0.6 + 0.02}$$

因此，從這兩個例子可以清楚地看出，當放置在不同的位置時，相同的數字具有不同的值。這也證明了十進位制數字系統是一種位置數字系統。

二進位制數字系統

二進位制數字系統也是一種位置數字系統或加權數字系統。二進位制數字系統的基數或底數為 2，這意味著它有兩個唯一的符號，即 0 和 1 來表示數字。與十進位制數字系統類似，二進位制數字系統的基數本身不能是符號。

在二進位制數字系統中，每個數字稱為位（二進位制數字）。因此，二進位制數只不過是二進位制 0 和 1 的字串。有一個二進位制點（基點）將二進位制數的整數部分和小數部分分開。二進位制數中每個二進位制數字或位根據其相對於二進位制點的位置具有權重。

在二進位制數字系統的情況下，每個位置的權重以 2 的冪表示，即 $2^n$，其中 n = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…. 2 的正冪表示二進位制點左側一位的權重，而 2 的負冪表示二進位制點右側一位的權重。

一個二進位制數在其整數部分有 $(n^{+1})$ 位，在其小數部分有 –m 位，表示為，

$$\mathrm{d_nd_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0\cdot d_{-1}d_{-2}...d_{-m}}$$

此二進位制數的十進位制等效值由下式給出：

$$\mathrm{(d_{n}\times 2^n)+(d_{n-1}\times 2^{n-1})+(d_{n-2}\times 2^{n-2})+...+(d_1\times 2^1)+(d_0\times 2^0)+(d_{-1} \times 2^{-1})+(d_{-2}\times 2^{-2})+...+(d_{-m}\times 2^{-m})}$$

二進位制數字系統主要用於數字系統，因為數字系統使用雙狀態開關裝置，如二極體、電晶體等。其中，二進位制 1 用於表示裝置的 ON 狀態，二進位制 0 用於表示裝置的 OFF 狀態。

八進位制數字系統

八進位制數字系統再次是一種位置數字系統。這意味著八進位制數中數字的值取決於其在數字中的位置。八進位制數字系統的基數或底數為 8，因此八進位制數字系統有八個唯一的符號，即 0、1、2、3、4、5、6 和 7。八進位制數字系統廣泛用於早期的小型計算機。

具有“n+1”位整數部分和“–m”位小數部分的八進位制數的通用形式為：

$$\mathrm{d_nd_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0\cdot d_{-1}d_{-2}...d_{-n}}$$

此八進位制數的十進位制等效值為：

$$\mathrm{(d_n\times 8^n)+(d_{n-1}\times 8^{n-1})+(d_{n-2}\times 8^{n-2})+...+(d_1\times 8^1)+(d_0\times 8^0)+(d_{-1}\times 8^{-1})+(d_{-2}\times 8^{-2})+...+(d_{-m}\times 8^{-m})}$$

十六進位制數字系統

十六進位制數字系統也是一種位置或加權數字系統。十六進位制數字系統的基數或底數為 16，這意味著此係統中有十六個獨立的符號。這些符號是 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E 和 F。十六進位制數字系統中的所有數字都可以使用這些符號表示

結論

從以上討論中，我們可以得出結論，數字的值取決於其在數字中的位置的數字系統被稱為位置數字系統。有四個基本的位置數字系統，即十進位制數字系統、二進位制數字系統、八進位制數字系統和十六進位制數字系統。所有這些數字系統都具有其獨特的特徵，並用於計算和資訊科技的不同方面。