不用三角函式表，求下列表達式的值
$\frac{sec( 90^{o}-\theta ) .cosec\theta -tan( 90^{o} -\theta ) cot\theta +cos^{2} 25^{o}+cos^{2} 65^{o} }{3tan27^{o} tan63^{o}}$。

$\frac{sec( 90^{o} -\theta ) .cosec\theta -tan( 90^{o} -\theta ) cot\theta +cos^{2} 25^{o} +cos^{2} 65^{o} }{3tan27^{o} tan63^{o}}$

要求：不用三角函式表求出該表示式的值。

解答：給定的表示式

$\frac{sec( 90^{o} -\theta ) .cosec\theta -tan( 90^{o} -\theta ) cot\theta +cos^{2} 25^{o} +cos^{2} 65^{o} }{3tan27^{o} tan63^{o}}$

$\because sec( 90^{o} -\theta ) =cosec\theta ,\ sin( 90^{o} -\theta ) =cos\theta ,\ tan( 90^{o} -\theta ) =cot\theta $

$=\frac{cosec\theta .cosec\theta -cot\theta .cot\theta +sin^{2}( 90^{o}-25^{o} ) +cos^{2} 65^{o} }{3cot( 90^{o} -27^{o} ) .tan63^{o} }$

$=\frac{cosec^{2} \theta -cot^{2} \theta +sin^{2} 65^{o}+cos^{2} 65^{o} }{3cot63^{o} tan63^{o} }$

$=\frac{1+1}{3\times 1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( \because cosec^{2} \theta -cot^{2} \theta =1,\ sin^{2} \theta +cos^{2} \theta =1\ and\ cot\theta .tan\theta =1\right)$

$=\frac{2}{3}$

該表示式的值為 $\frac{2}{3}$。