在直角三角形ABC中，∠C=90°，如果D是BC的中點，證明AB²=4AD²-3AC²。

已知

在直角三角形ABC中，∠C=90°，D是BC的中點。

要求

我們必須證明AB²=4AD²-3AC²。

解答

D是BC的中點。因此，BC=2CD=2BD。

在△ABC中，根據勾股定理，

AB²=AC²+BC²

AB²=AC²+(2CD)² (BC=2CD)

AB²=AC²+4CD².....(i)

在△ACD中，根據勾股定理，

AD²=AC²+CD²

CD²=AD²-AC²....(ii)

將方程(ii)代入方程(i)，我們得到：

AB²=AC²+4(AD²-AC²)

AB²=AC²+4AD²-4AC²

AB²=4AD²-3AC²

證畢。

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更新於：2022年10月10日

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