如果 \( x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=66 \), 求 \( x-\frac{1}{x} \) 的值。

給定

\( x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=66 \)

待做

我們必須求 \( x-\frac{1}{x} \) 的值。

解決方案

我們知道，

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

因此，

$(x-\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\times x \times \frac{1}{x}$

$\Rightarrow (x-\frac{1}{x})^{2}=66-2$

$\Rightarrow (x-\frac{1}{x})^{2}=64$

$\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\sqrt{64}$

$\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\pm 8$

因此， $x-\frac{1}{x}=\pm 8$。

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更新於： 2022 年 10 月 10 日

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