已知：\( (1+\cos \alpha)(1+\cos \beta)(1+\cos \gamma)=(1-\cos \alpha)(1-\cos \beta)(1-\cos \gamma) \)，證明該等式每一項的值之一為\( \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \)

已知

\( (1+\cos \alpha)(1+\cos \beta)(1+\cos \gamma)=(1-\cos \alpha)(1-\cos \beta)(1-\cos \gamma) \)

要求

我們必須證明給定等式每一項的值之一為\( \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \).

解答：  

$(1+\cos \alpha)(1+\cos \beta)(1+\cos \gamma)=(1-\cos \alpha)(1-\cos \beta)(1-\cos \gamma)$

$\Rightarrow  \frac{(1+\cos \alpha)(1+\cos \beta)(1+\cos \gamma)}{(1-\cos \alpha)(1-\cos \beta)(1-\cos \gamma)}=1$

$\Rightarrow (\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}) (\frac{1+\cos \beta}{1-\cos \beta}) (\frac{1+\cos \gamma}{1-\cos \gamma})=1$

$\Rightarrow \frac{(1+\cos \alpha)(1+\cos \alpha)}{(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)} \frac{(1+\cos \beta)(1+\cos \beta)}{(1-\cos \beta)(1+\cos \beta)}\frac{(1+\cos \gamma)(1+\cos \gamma)}{(1-\cos \gamma)(1+\cos \gamma)}=1$

$\Rightarrow  \frac{(1+\cos \alpha)^{2}}{1-\cos ^{2} \alpha}  \frac{(1+\cos \beta)^{2}}{1-\cos ^{2} \beta}  \frac{(1+\cos \gamma)^{2}}{1-\cos ^{2} \gamma}=1$
 $\Rightarrow \frac{(1+\cos \alpha)^{2}}{\sin ^{2} \alpha} \frac{(1+\cos \beta)^{2}}{\sin ^{2} \beta} \frac{(1+\cos \gamma)^{2}}{\sin ^{2} \gamma}=1$
$\Rightarrow (1+\cos \alpha)^{2} (1+\cos \beta)^{2} (1+\cos \gamma)^{2}=\sin ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta \sin ^{2} \gamma$
$\Rightarrow (1+\cos \alpha)(1+\cos \beta)(1+\cos \gamma)=\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

因此，給定等式每一項的值之一為\( \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \).

教程點

更新於：2022年10月10日

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