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法學分別求出以給定數字作為其零點之和與積的二次多項式。
(i) \( \frac{1}{4},-1 \)。
(ii) $\sqrt{2},\ \frac{1}{3}$。
(iii) $0,\ \sqrt{5}$。
(iv) $1,\ 1$.
(v) $-\frac{1}{4},\ \frac{1}{4}$。
(vi) $4,\ 1$.
已知：
已知二次多項式的零點之和與積。
要求：
我們必須分別找到以給定數字作為零點之和與積的二次多項式。
解答
(i) 設$\alpha$和$\beta$是多項式的零點。
已知：
零點之和$=\alpha+\beta=\frac{1}{4}$
零點之積$=\alpha.\beta=-1$
二次多項式為
$x^{2}-( \alpha +\beta )+\alpha \beta =0$
$\Rightarrow x^2-( \frac{1}{4})x+( -1)=0$
$\Rightarrow 4x^2-x-4=0$
因此，所需的多項式為 $4x^2-x-4=0$。
(ii) 設$\alpha$和$\beta$是多項式的零點。
已知：
零點之和$=\alpha +\beta=\sqrt{2}$
二次多項式的積$=\alpha.\beta =\frac{1}{3}$
二次多項式為
$x^{2}-( \alpha +\beta )+\alpha \beta =0$
$\Rightarrow x^{2}-\sqrt{2}x+\frac{1}{3}=0$
$\Rightarrow 3x^{2}-3\sqrt{2}x+1=0$
因此，所需二次多項式為 $3x^{2}-3\sqrt{2}x+1$。
(iii) 設$\alpha$和$\beta$是二次多項式的零點。
二次多項式零點之和$=\alpha+\beta=0$
二次多項式零點之積$=\alpha.\beta=\sqrt{5}$
二次多項式為
$x^{2}-(\alpha +\beta )+\alpha\beta=0$
$\Rightarrow x^{2}-0x+\sqrt{5}=0$
$\Rightarrow x^{2}+\sqrt{5}=0$
所需二次多項式為 $x^2+\sqrt{5}$。
(iv) 設$\alpha$和$\beta$是多項式的零點。
已知：
零點之和$=\alpha +\beta=1$
零點之積$=\alpha.\beta=1$
$\Rightarrow x^{2}-(\alpha +\beta )+\alpha \beta =0$
$\Rightarrow x^{2}-1.x+1=0$
$\Rightarrow x^{2}-x+1=0$
因此，所需二次多項式為 $x^2-x+1$。
(v) 設$\alpha$和$\beta$是二次多項式的零點。
已知，零點之和$=\alpha +\beta=-\frac{1}{4}$
零點之積$=\alpha \beta =\frac{1}{4}$
$x^{2}-( \alpha+\beta)+\alpha\beta =0$
$x^{2}-( -\frac{1}{4})x+\frac{1}{4}=0$
$4x^{2}+x+1=0$
因此，所需二次多項式為 $4x^2+x+1$
(vi) 設$\alpha$和$\beta$是二次多項式的零點。
已知，零點之和$=\alpha+\beta=4$
零點之積$=\alpha\beta=1$
二次多項式為
$x^{2}-( \alpha +\beta )+\alpha \beta=0$
$x^{2}-4x+1=0$
所需二次多項式為 $x^2-4x+1$。
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