求下列乘積
$(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4}) \ldots(1-\frac{1}{10})$

已知

給定的表示式為 $(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4}) \ldots(1-\frac{1}{10})$

求解

我們需要求出給定表示式的乘積。

解法

$(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4}) \ldots(1-\frac{1}{10})$

$1-\frac{1}{2} = \frac{2\times 1 - 1}{2} = \frac{1}{2}$

$1-\frac{1}{3} = \frac{3\times 1 - 1}{3} = \frac{2}{3}$

$1-\frac{1}{4} = \frac{4\times 1 - 1}{4} = \frac{3}{4}$

類似地，

$1-\frac{1}{9} = \frac{9\times 1 - 1}{9} = \frac{8}{9}$

$1-\frac{1}{10} = \frac{10\times 1 - 1}{10} = \frac{9}{10}$

所以， $(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4}) \ldots(1-\frac{1}{10}) = (\frac{1}{2})(\frac{2}{3})(\frac{3}{4}) \ldots(\frac{8}{9})(\frac{9}{10})$

在 $ (\frac{1}{2})(\frac{2}{3})(\frac{3}{4}) \ldots(\frac{8}{9})(\frac{9}{10})$ 中，除了第一項的分子和最後一項的分母外，其他數字都被抵消了。

因此，  $(\frac{1}{2})(\frac{2}{3})(\frac{3}{4}) \ldots(\frac{8}{9})(\frac{9}{10}) =\frac{1}{10}$

$(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4}) \ldots(1-\frac{1}{10})$ 的乘積是 $\frac{1}{10}$

教程點

更新於： 2022年10月10日

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