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法律研究一個人計劃用40期年度分期付款來償還3600盧比的債務，這些分期付款構成一個算術級數。當支付了30期分期付款後，他去世了，留下三分之一的債務未償還，求第一期分期付款的金額。
已知
一個人計劃用40期年度分期付款來償還3600盧比的債務，這些分期付款構成一個算術級數。當支付了30期分期付款後，他去世了，留下三分之一的債務未償還。
要求
我們需要求出第一期分期付款的金額。
解答
總債務 \( =3600盧比 \)
分期付款次數（項數） \( =40 \)
\( \therefore \mathrm{S}_{40}=3600 \)
\( S_{40}-S_{30}=\frac{1}{3} \text { 債務 }=\frac{1}{3} \times 3600 \)
\( =1200 \)
\( \therefore S_{30}=3600 \times \frac{2}{3}=2400盧比 \)
設 \( a \) 為第一期分期付款，\( d \) 為公差。
我們知道，
\( \mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a-(n-1) d] \)
\( \mathrm{S}_{40}=\frac{40}{2}[2 a-(40-1) d] \)
\( 3600= 20(2 a-39 d) \)
\( 180= 2 a-39 d \).......(i)
\( \mathrm{S}_{30}=\frac{30}{2}[2 a-(30-1) d] \)
\( 2400 = 15(2 a-29 d) \)
\( 160 = 2 a-29 d \).......(ii)
用 (i) 減去 (ii) \( 10 d=20 \)
\( \Rightarrow d=\frac{20}{10}=2 \)
\( 2 a+39 d=180 \)
\( \Rightarrow 2 a+39 \times 2=180 \)
\( \Rightarrow 2 a+78=180 \)
\( \Rightarrow 2 a=180-78=102 \)
\( \therefore a=\frac{102}{2}=51 \)
因此，第一期分期付款的金額為 \( 51盧比 \)。
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