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法律研究頂點度數總和為 L 的樹的數量
給定度數總和 L 的樹的數量可以透過基於圖論的假設的方程來確定。首先，我們注意到具有 N 個頂點的樹的度數總和始終為 2N-2。利用這一點，我們可以計算樹中的葉子數，即 L 減去 2。另一種方法是從總頂點數中減去葉子數來確定內部頂點數。最後，我們能夠透過使用組合方程來發現將剩餘度數分配給內部頂點的數量。因此，具有度數總和 L 的樹的數量可以使用這些步驟計算。
使用的方法
遞迴列舉
組合分析
遞迴列舉
遞迴計數是一種確定給定度數總和 L 的樹的數量的策略。從單個頂點開始，我們系統地新增新的頂點和邊以構建樹。在每個步驟中，我們在保持指定總和的同時，將剩餘的度數分配給現有的頂點。此過程遞迴地重複，探索所有可能的組合。透過回溯並考慮不同的度數，我們可以確定有效樹的數量。這種方法對於較小的輸入規模很有用，但由於其指數時間複雜度，對於較大的 L 值可能會變得低效。
演算法
定義一個名為 countTrees(L, vertexCount) 的遞迴函式，其中 L 是所需的度數總和，vertexCount 表示樹中的頂點數。
基本情況。
如果 L 等於 2 且 vertexCount 等於 1，則返回 1（因為單個頂點可以是有效的樹）。將變數 treeCount 初始化為 0。
迭代當前頂點的可能度數，從 1 到 L-1。
在迴圈內。
從 L 中減去當前度數，並使用更新的 L 和 vertexCount-1 遞迴呼叫 countTrees。將返回值加到 treeCount 中。返回 treeCount。
使用所需的 L 和初始頂點數（根據規則 1）呼叫 countTrees 函式，以獲取具有給定度數總和的樹的數量。
示例
#include <iostream>
int countTrees(int L, int vertexCount) {
if (L == 2 && vertexCount == 1) {
return 1;
}
int treeCount = 0;
for (int degree = 1; degree <= L - 1; degree++) {
int remainingSum = L - degree;
int subTreeCount = countTrees(remainingSum, vertexCount - 1);
treeCount += subTreeCount;
}
return treeCount;
}
int main() {
int L = 8;
int vertexCount = 4;
int numTrees = countTrees(L, vertexCount);
std::cout << "Number of trees with sum of degrees " << L << " and " << vertexCount << " vertices: " << numTrees << std::endl;
return 0;
}
輸出
Number of trees with sum of degrees 8 and 4 vertices: 10
組合分析
在確定給定度數總和 L 的樹的數量的上下文中，組合分析包括考慮樹的結構並使用組合方法對其進行計數。它涉及分析由度數總和強加的約束條件，確定內部頂點數和葉子數，並將剩餘的度數分配給它們。透過使用組合、排列和遞推關係等概念，組合分析允許開發方程或公式來精確計算特定度數總和 L 的樹的數量。這種方法利用數學原理來有效地解決問題。
演算法
將變數 count_trees 初始化為 0。
迭代可能的葉子數 i，從 1 到 L-2。
計算內部頂點數 internal_vertices，為 L - i。
使用組合方法將剩餘的度數分配給內部頂點。您可以使用遞迴方法或動態規劃來計算此分配。
將 count_trees 增加分配度數到內部頂點的方法數量和選擇葉子的方法數量的乘積。
返回 count_trees 作為結果。
示例
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
int countTrees(int L) {
int count_trees = 0;
for (int i = 1; i <= L - 2; i++) {
int internal_vertices = L - i;
// Calculate the number of ways to distribute degrees among internal vertices
std::vector<int> degrees(internal_vertices - 2, 1);
degrees.push_back(2);
do {
// Calculate the number of ways to select the leaves
int leaf_selection = std::count_if(degrees.begin(), degrees.end(), [](int x) {
return x == 1;
});
count_trees += leaf_selection;
} while (std::next_permutation(degrees.begin(), degrees.end()));
}
return count_trees;
}
int main() {
int L = 10; // Assuming L = 10
int result = countTrees(L);
std::cout << "Number of trees: " << result << std::endl;
return 0;
}
輸出
Number of trees: 168
結論
本文探討了兩種確定圖中具有特定度數總和的樹的數量的策略。第一種策略，遞迴列舉，包括有效地新增頂點和邊以構建樹，同時分配剩餘的度數。第二種策略，組合分析，利用數學原理和組合方法透過將度數分配給頂點來計算樹的數量。這兩種方法都提供了有效的方法來解決問題，並且在不同的場景中都是相關的。
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