機率乘法規則

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簡介

• 機率是指事件發生的可能性。換句話說，它是事件發生的所有可能結果中，有利結果的總數與所有可能結果的總數之比。如果機率為 1，則表示該事件是必然事件；如果機率為 0，則表示該事件不會發生。

• 機率僅僅是對實驗的一種有用的描述（以數學模型的形式），這些實驗的精確結果難以提前預測。

• 當你拋硬幣時，很難提前知道是正面還是反面朝上。當你無法預測確切的結果時，通常很有用的是嘗試描述可能發生的每個結果，以及對哪些結果最有可能發生進行數值描述。

• 你選擇的數值描述可以基於你的經驗、物理學知識、哪些計算更容易，或許多其他因素。

• 拋硬幣的常用模型是說正面和反面都是可能的。

在本教程中，我們將討論機率的乘法規則。

機率

• 機率是**事件發生的可能性**。換句話說，它是事件發生的所有可能結果中，有利結果的總數與所有可能結果的總數之比。如果機率為 1，則表示該事件是必然事件；如果機率為 0，則表示該事件不會發生。

  $$\mathrm{Probability\: (event) =\frac{favorable\: outcomes}{total\: outcomes}}$$

• 機率是成功的百分比。

• 機率用於描述固定引數值下的結果函式。

• 例如，如果你拋硬幣 10 次，並且這是一枚公平的硬幣，那麼每次都正面朝上的機率是多少？這可以透過上述公式計算得出。

相關事件和獨立事件

獨立事件是指獨立於其他事件發生的事件。

獨立事件的機率乘法規則

$$\mathrm{ P(A ∩B) = P ( A ) P ( B ).}$$

相關事件是指其機率相互影響的事件。

相關事件的機率乘法規則

$$\mathrm{P (A ∩ B) = P(A ) P ( B | A ).}$$

條件機率

• 簡單來說，假設一個事件發生了，另一個事件發生的機率是多少？

• 我將嘗試用一個例子來解釋，沒有數字，只有簡單的英語。假設在一個美好的早晨，你想出去，你有兩個選擇——

• 打車或開車去目的地。讓我們把開車稱為事件 1。

• 你的表弟決定和你一起去。讓我們把你的表弟加入你的事件稱為事件 2。

• 假設事件 2 發生，事件 1 發生的機率是多少？

• 這稱為**條件機率**。假設你的表弟和你一起去，你開車去那裡的機率是多少？你開車去會場的事件以你的表弟加入你的事件為條件。

• 這裡還有另一個條件——

• 假設你決定開車去會場，你的表弟加入你的事件。這可以使用**貝葉斯定理**來找到。

在數學上，假設事件 A 或事件 B 可以發生。P (B / A) 讀作“給定 A 的情況下 B 的機率”。

這可以寫成——

$$\mathrm{P (A/ B)= \frac{P(B/A) P(A)}{P(B)}}$$

• 可以透過繪製相關的韋恩圖從幾何上檢視這一點。換句話說，知道 A 已經發生，B 發生的唯一方法是落入這兩個事件的交集。

• 你除以 A 發生的總機率，因為它不再可能發生整個事件 A。

機率乘法規則

• 機率乘法定義了兩個特定事件之間的條件。對於與樣本空間 S 相關的兩個事件 A 和 B，A ∩ B 表示兩個事件都發生的事件。

• 透過將條件機率方程的兩邊都乘以分母，可以很容易地得到機率乘法的普遍規律。

獨立事件的機率乘法規則

$$\mathrm{ P(A ∩B) = P ( A ) P ( B ). }$$

相關事件的機率乘法規則

$$\mathrm{P (A ∩ B) = P(A ) P ( B | A ). }$$

全機率定理

全機率定理是貝葉斯定理的基礎。該定理有助於找到事件在樣本空間的不同分割槽中發生的機率。如果 A 是一個可以與任何一個 B_1、B_2、B_3、......... 結合發生的事件，它們是互斥的，那麼

B_1,B_2,B_3,......... that are mutually exclusive, then

$$\mathrm{P(A)=P(A∩B_1)+P (A∩B_2)+P( A∩B_3 )+P (A∩B_4)+\dotso\dotso= P (B_1).P (A /B_1) + P(B_2).P(A / B_2) + P ( B_3 ).P (A / B_3) + P (B_4).P(A / B_4) + \dotso\dotso}$$

P(A) 的上述表示稱為**全機率定理**。

P(A) 的上述表示稱為**全機率定理**。

貝葉斯定理

貝葉斯定理是一個機率和統計定理，以牧師托馬斯·貝葉斯命名，它有助於根據已經發生的事件來確定事件發生的機率。

$$\mathrm{Formula : P (A/ B)= \frac{P(B/A) P(A)}{P(B)}}$$

這裡，A 和 B 是兩個給定的事件，P (A/ B) 是如果事件 B 已經發生，則事件 A 發生的機率。

例題

例 1：求在公平骰子上擲出 2 的機率？

解：設 A 表示事件“擲出 2”。

根據題意，樣本空間將為 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。

$$\mathrm{P(A)=\frac{1}{6}}$$

例 2：假設你擲出了一個偶數，那麼擲出 2 的機率是多少？

解：你會注意到樣本空間現在已縮減為 S′={2,4,6}。假設 B 為事件“擲出偶數”，則機率現在為

$$\mathrm{P(A\: given\: B)=\frac{1}{3}}$$

例 3：如果 P(A) = 0，則 P (B | A) 是多少？

解：$\mathrm{P(B | A)=\frac{P ( A ∩ B )}{P ( A )}}$

$$\mathrm{But\: P(A )=0; (given)}$$

$$\mathrm{and\: range\: for\: any\: probability\: is\: (0 < P <1);}$$

$$\mathrm{Thus\: no\: matter\: what\: is\: P(B),}$$

$$\mathrm{P(A∩B)=0;}$$

因此，P(B|A) 的解是未定義的

例 4：計算條件機率 P(A|B)。我們知道 P(B) = 0.4 且 P(AnB) = 0.1

解：使用條件機率公式，我們得到——

$$\mathrm{P(A | B) = P(A∩B) / P(B)}$$

$$\mathrm{P(A | B) = 0.1 / 0.4}$$

$$\mathrm{P(A | B) = 0.25}$$

結論

機率乘法定義了兩個特定事件之間的狀態。對於與樣本空間 S 相關的兩個事件 A 和 B，A ∩ B 表示兩個事件都發生的事件。這也被稱為機率乘法**定理**。

獨立事件是指獨立於其他事件發生的事件，貝葉斯公式——$\mathrm{P (A/ B )=\frac{P(B/A)P (A)}{P(B)}}$

常見問題

1.機率中的乘法規則是什麼？

機率乘法定義了兩個特定事件之間的狀態。對於與樣本空間 S 相關的兩個事件 A 和 B，A∩B 表示兩個事件都發生的事件。這也被稱為機率乘法定理。

2.如何解決條件機率問題？

解決條件機率問題的常用方法是應用定義——$\mathrm{P (A/ B )=\frac{P(B/A)P (A)}{P(B)}}$

3.機率的公式是什麼？

有利結果除以總結果。

$$\mathrm{Probability (event) =\frac{favorable\: outcomes}{total\: outcomes}}$$

4.什麼是相關機率？

相關事件是指其機率相互影響的事件。

5.機率的範圍是多少？

機率的範圍是 0 到 1