均值定義

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引言

在一個組織中，為了分析和表示的目的，需要收集和處理大量資料。在這個方向上，統計引數幫助我們有效地分析資料。在上述目的中，統計學中使用了各種均值。在本教程中，我們將學習均值的含義、型別、它們之間的關係，以及對其他集中趨勢的簡要討論，並附帶解題示例。

資料

• 資料是一個集合詞，代表數量或類別值的集合或排列。

• 資料收集的目的是分析過程中特定事件。

• 當資料系統地排列時，它被稱為資訊。

• 資料可以根據值或收集來源進行分類。

下面總結了關於各種資料型別的簡要討論。

序號	資料型別	含義
1	定量資料	這些資料型別可以被測量或量化，並用算術值表示。可以對它們進行代數運算。
2	定性資料	資料不能被測量或用數值表示。它們要麼是特徵，要麼是屬性。
3	原始資料	資料是第一次收集的，並且對這些資料沒有進行任何統計運算。
4	次級資料	這些型別的資料是從已發表的或未發表的來源收集的。這些資料已經進行了統計運算。
5	離散資料	它代表資料的特定值。線形圖或圖表主要用於表示資料。
6	連續資料	它表示特定範圍內的資料值。直方圖通常用於表示資料。

集中趨勢

• 集中趨勢是描述性統計中的一個重要概念。

• 在統計學中，集中趨勢被定義為代表機率分佈中心值的唯一值。

• 它沒有說明資料集的個體資訊；然而，它指的是一個索引值，它總結了整個資料集。

• 各種術語已被用來描述資料集的集中趨勢。統計學中使用了各種集中趨勢，例如均值、中位數、眾數、幾何均值、算術平均數、調和平均數等。

均值

• 均值是一個統計術語，用於描述一組資料的集中趨勢。

• 它被定義為所有資料點的總和與資料點個數的比率。

• 它通常用一個符號表示，即$\mathrm{\underline{M}}$。數學上，它可以寫成

$$\mathrm{\underline{M}=\frac{所有資料點的總和}{資料點的總數}}$$

$$\mathrm{或\:\underline{M}=\frac{m_1+m_2+m_3+m_4+.......+m_r}{r}}$$

$$\mathrm{或\:\underline{M}=\frac{\sum_{i=1}^r m_i}{r}}$$

其中 r = 資料點的總數

m₁,m₂,m₃,...= 各個資料的數值

符號 "∑ " 表示值的加法或求和。

均值的型別

統計學中使用了四種類型的均值。

• 算術平均數 − 算術平均數的含義包括資料集中所有資料的平均值。此外，它縮寫為AM。統計上，它表示為算術平均數$\mathrm{(AM) =\underline{M}= \frac{Σ m}{r}}$

  其中 r = 資料總數

  Σ m = 所有單個數據的總和

• 幾何平均數 − 幾何平均數定義為所有資料乘積的 r 次方根。換句話說，它也被定義為所有資料點的對數值的算術平均數。此外，它縮寫為 GM。因此，幾何平均數可以表示為

  幾何平均數 (GM) =$\mathrm{=\sqrt[r]{m_1×m_2×m_3×m_4×.....×m_r}}$

  $$\mathrm{或\: GM= (m_1×m_2×m_3×m_4×.....×m_r )^{\frac{1}{r}} }$$

  其中 m_1,m_2,m_3,...= 各個資料的數值

• 調和平均數 − 調和平均數是算術平均數的倒數。它縮寫為 HM。當組大小與另一個組不同時，它被發現更有效。因此，調和平均數可以表示為調和平均數$\mathrm{(HM) =\frac{r}{\sum \frac{1}{m}}(其中\: r = 元素個數) }$

• 加權平均數 − 此型別的平均數用於總結資料集，以便最大限度地重視資料集中特定值。此外，它縮寫為 WM。加權平均數可以表示如下加權平均數$\mathrm{(WM) = \frac{Σw_i x_i}{w_i}}$

  其中 w_i= 應用於每個值的權重，x_i= 要平均的單個數據。

AM、GM 和 HM 之間的關係

為了建立 AM、GM 和 HM 之間的關係，考慮兩個算術值，即 p 和 q。

現在這兩個數的 AM 是 = $\mathrm{AM =\frac{p+q}{2}}$

這兩個數的 GM 是 = $\mathrm{GM =\sqrt{pq}}$

這兩個數的 HM 是 $\mathrm{=\frac{2pq}{p+q}}$

透過對 AM 和 GM 進行代數運算，我們將得到

$$\mathrm{\frac{p+q}{2}\times \frac{2pq}{p+q}=(\sqrt{pq})^2}$$

這意味著，AM×HM=GM²

因此，GM 的平方是 AM 和 HM 的乘積。

其他集中趨勢

一些重要的集中趨勢已列在下面。

• 廣義平均數

• 截斷均值

• 四分位數間距平均數

• 中值範圍

• 四分位數中位數

• 擬算術平均數

• 三均值

眾數和中位數

眾數 − 它被定義為資料集中出現頻率最高的值。

中位數 − 中位數是一個索引或值，當樣本按升序或降序排列時，它顯示資料集的中間位置。它將資料集分成兩半，即上半部分和下半部分集。此外，中位數也稱為位置平均數。

解題示例

例 1

計算資料 -6、-9、10、8 的 AM 和 GM。

解答

算術平均數為 = $\mathrm{AM=\frac{-6-9+10+8}{4}=0.75}$

可以使用以下公式找到幾何平均數

$$\mathrm{(GM) =\sqrt[4]{(-6)×(-9)×10×8}≃8.11}$$

∴ 給定資料的 AM 和 GM 分別為 0.75 和 8.11。

例 2

給定一組資料：4 和 16。

使用給定的資料集證明語句 AM×HM=GM²。

解答

$$\mathrm{AM =\frac{4+16}{2}=10}$$

$$\mathrm{GM = \sqrt{4×16}=8}$$

$$\mathrm{HM =\frac{2}{\frac{1}{4}+\frac{1}{16}}=6.4}$$

根據上述值，可以得出結論 AM×HM=GM²

結論

本教程簡要介紹了均值及其各種型別。本教程說明了集中趨勢的基本定義及其各種引數。此外，還推導了 AM、GM 和 HM 之間的關係。此外，還提供了一些解題示例，以便更好地理解這一概念。總之，本教程可能有助於理解均值的基本概念。

常見問題

1.幾何平均數的第一項可以為零嗎？

不可以。幾何級數或序列的第一項應為非零數。

2.幾何平均數和算術平均數中哪個是更好的選擇？

算術平均數用於評估資料的平均值，而幾何平均數考慮了隨時間推移的複合概念。因此，它更適合用於金融領域，以確定固定投資的回報。

3.在什麼情況下，這兩個均值（即 AM 和 GM）相同？

如果所有資料的數值都相等，那麼這兩個均值彼此相同。

4.前五個偶數的均值和中位數相同嗎？

前五個偶數是 2、4、6、8 和 10。

$$\mathrm{Mean =\frac{2 + 4+ 6 + 8 + 10}{5} = 6}$$

$$\mathrm{Median =(\frac{n+1}{2})^{th}\:term}$$

$$\mathrm{=(\frac{5+1}{2})^{th}\:term}$$

$$\mathrm{=(3)^{rd}\: term=6}$$

∴ 前五個偶數的均值和中位數相等。

5.幾何平均數的侷限性是什麼？

如果資料集中存在負整數，則難以找到幾何平均數。