變數定義

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引言

變數用於表示方程式中的未知值。在代數中，我們可以使用加法(+)、減法(-)、乘法(×)和除法(÷)這四種基本運算，與算術相同。在代數中，項是由兩個不同部分組成的數學表示式：數字部分和變數部分。在一個項中，數字部分和變數部分相乘，並且不使用乘號寫出來。項可以包含任意數量的變數。

表示式

一個表示式包含一個或多個項，其中變數的冪可以是任何值，包括正數、負數或分數。

例如，$\mathrm{3x^2-5x +2,7+2x^{-1},3 + x^{\frac{1}{2}}}$, 等。

表示式中不能包含等號。代數表示式的不同部分是

部分	含義	示例
係數	變數前的數字部分	4x,3a 4 和 3 是係數。
變數	變數	4x,3a x 和 a 是變數。
常數	沒有變數的數字。	4x+5,3a+2 5 和 2 是常數。

方程式

方程式是一個數學語句，其中兩邊相等。在代數方程中，我們可以透過將未知值與已知值相等來找出未知值。從給定的代數方程中，我們需要簡化並重新排列方程以找到未知值。

代數方程具有相同的變數，在同一個問題中不能用於不同的未知數。我們可以使用兩個不同的字母來表示相同的值。

多項式

多項式是一個代數方程，包含一個或多個項，其中所有變數都只有正數冪。多項式由任意數量的項組成；它就像一個由加法或減法連線的項鍊。項的次數由變數部分的冪決定。

當有兩個或多個次數時，將每個變數的冪加起來以得到項的次數。多項式通常以其最高項的次數來表示。多項式的一般形式為

$$\mathrm{a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}......a_1 x^1+a_0}$$

多項式根據其次數進行分類，

次數	型別	描述	示例
次數 1	一次多項式	1 是多項式中最高的冪	4x,3a
次數 2	二次多項式	2 是多項式中最高的冪	x2+2x。
次數 3	三次多項式	3 是多項式中最高的冪	x3+x2+x
次數 0	常數多項式	0 是多項式中最高的冪	60 = 6

多項式 p(x) 的零點是一個數 'a'，使得 p(x) = 0

變數

變數是一個符號或字母，表示一個數學量，該量要麼是任意的，要麼是未知的。字母如 x、y 和 z 用於表示變數。變量表示未知值。變數可能只有一個值，也可能根據上下文或情況而變化。例如，兩倍的某個東西等於十。這裡 2x = 10，其中 x = 5。我們可以得出結論，五的兩倍等於十。

多項式根據變數數量進行分類，例如

• 一個變數的多項式 例如 5x²-6x+2

• 兩個變數的多項式 例如：2x + 4y

• 三個變數的多項式 例如：2x + 4y + 7z

解題示例

1)在給定的表示式 112x+45 中識別項、係數和常數

答案：項 = 112x, 45

係數 = 112

常數 = 45

2)當 x =5 時，計算表示式 1.5x^2-2 的值。

答案：1.5x²-2 = 1.5(5)²-2

= 1.5 (25) - 2

= 37.5 - 2 = 35.5

3)如果 12 + 3x 比 12 大 9。6x 的值是多少？

答案：12 + 3x = 9 + 12

12 + 3x = 21

3x = 21 - 12

3x = 9

x = 3

現在 6x 的值 = 4 (3)

6x = 12

4)將給定的多項式 (4x²+3x+6) 和 (3x²+5x+12) 相加

答案：(4x²+3x+6)+(3x²+5x+12) = 4x²+3x+6+3x²+5x+12

= 7x²+8x+18

5)將給定的多項式 (11x²+6x+25) 和 (4x²+3x+13) 相減

答案：(11x²+6x+25)- (4x²+3x+13) = 11x²+6x+25-4x²-3x-13

= 7x²+3x+12

6)將多項式 x²+7x+12 除以 x + 3

答案：$\mathrm{\frac{x^2+7x+12}{x+3} =\frac{(x+3)(x+4)}{x+3}}$

約去公因式，我們得到，

$$\mathrm{\frac{x^2+7x+12}{x+3} = x+4}$$

7)將多項式 x²+4x+3 和 x + 2 相乘

答案：(x²+4x+3 )(x+2) =x³+4x²+3x + 2x²+8x+6

= x³+ 6x²+11x+6

8) 檢查 x =3 是否是給定多項式 x²-3x 的零點

答案：p(x) = x²-3x

當 x = 2 時，我們得到，

p(2) = (3)²-3(3)

= 9 - 9

= 0

9)如果 x³+ 6x²+3x-5 除以 x +2，則餘數是多少？

答案：將除數等於 0

x +2 = 0

x = -2

代入給定的多項式，我們有

x³+ 6x²+3x+5 = (-2)³+ 6(-2)²+3(-2)-5

= -8 +24 -6 -5

= 24 - 19

= 5

結論

我們使用不同的名稱來表示方程、表示式或多項式的不同部分。它們是變數、係數和常數。在項中，係數總是出現在變數之前。數字部分稱為係數。變數部分是字母部分，並帶有一個或多個冪。多項式可以根據變數的數量、項的數量和次數進行分類。

常見問題解答

1. 多項式中的首項係數是什麼？

在多項式中，首項係數是首項或次數最高的項的係數。例如，2x²+4x+3 這裡 2x² 是首項，2 是首項係數。

2. 根據項數，多項式的型別有哪些？

多項式根據項數進行分類，它們是

• 單項式，只有一個項 例如 2x²

• 二項式，有兩個項 例如 2x² + 2x

• 三項式，有三個項 例如 2x²+ 3x+ 2

• 多項式，有許多項 例如 2x⁴+ 3x³+ 35x + 35

3. 如何使用綜合除法方法除以兩個多項式？

為了除以較長的多項式，我們可以執行長除法方法和綜合除法方法。在綜合除法方法中，我們將除數的值等於零，並代入從除法中獲得的餘數。

4. 分配律如何在代數中起作用？

分配律適用於加法和減法，例如

$$\mathrm{a(b+c) = ab+ac\:\: and\:\: a(b-c) = ab -ac}$$

但分配律不適用於乘法和除法。

5. 代數表示式成為多項式的條件是什麼？

為了使代數表示式成為多項式，它必須滿足以下條件。

• 變數中的所有冪都必須為正數。例如 2x²+ 3x+ 2。

• 任何變數中的冪都不能為分數。

6. 多項式零點的可能條件是什麼？

多項式的零點具有以下條件

• 多項式的零點不必為零。

• 零可能是多項式的零點。

• 每個一次多項式只有一個零點。

• 一個多項式有一個或多個零點。