平均自由程

---

引言

我們知道，氣體中大量的分子被稱為粒子。這些粒子在四處隨機移動，沒有任何排列，由於這種隨機運動，它們相互碰撞並改變路徑。當難以理解運動粒子的實際路徑時，我們使用平均自由程的概念。在平均自由程中，運動粒子指的是原子、光子或分子。

什麼是碰撞？

在任何情況下，當兩個或多個物體在短時間內施加力而相互碰撞時，稱為碰撞。例如，當蜜蜂停落在花瓣上時，它的腿會與花瓣碰撞。碰撞這個術語解釋了以下內容：

• 施加力的測量以及碰撞物體運動的變化（速度變化）。

• 這意味著物體在碰撞前的速度大小與碰撞後的速度大小不同。

• 參與碰撞的物體遵循動量守恆定律。因此，每次碰撞都守恆動量。

根據能量（機械能或動能）的守恆情況，碰撞有不同型別。兩種型別的碰撞如下：

• 彈性碰撞 − 在碰撞過程中，如果系統的全部動能都守恆，則稱為彈性碰撞。它也稱為完全彈性碰撞。

• 非彈性碰撞 − 在碰撞過程中，如果一部分動能轉化為其他形式的能量，並且系統的總動能不守恆，則稱為非彈性碰撞。

弛豫時間

在物理學中，弛豫是指不穩定系統恢復到平衡狀態的過程。所有弛豫過程都可以用弛豫時間來指定。

• 導體中兩個自由電子連續碰撞之間的時間間隔稱為弛豫時間。

• 用字母 𝜏 (tau) 表示。電子的弛豫時間為 10⁻¹⁴ 秒。

• 其公式為 $\mathrm{\tau\:=\:v\frac{n}{e}\:E}$

其中 𝑣 是電子的漂移速度

𝑛 是電子的數量

𝑒 是電子的電荷

𝐸 是電場

• 任何材料的電導率都取決於其弛豫時間。導電性最好的材料將具有更長的弛豫時間。

平均自由程

根據氣體動理論，氣體分子不斷地向各個方向以不同的速度運動，並透過施加力相互碰撞。

• 碰撞後，它們的方向和速度會發生變化。它們不會相互施加力，而只在碰撞時施加力。

• 因此，它們開始以相同的速度在兩次連續碰撞之間直線移動。

• 如果觀察單個運動分子，會發現它具有各種長度的短鋸齒形路徑。這些分子的短鋸齒形路徑稱為自由程，它們的平均值稱為平均自由程。

• 在射線照相中，單能光子束，以及在電子學中，電荷載流子電子具有平均自由程。

讓我們假設在房間裡移動的球代表運動的分子。球多次撞擊房間的牆壁，每次碰撞後，球的方向都會發生變化。球與牆壁之間發生了四次碰撞。在兩次連續碰撞之間，球會走出一條特定的路徑。這意味著，球走過三條路徑，每條路徑在四次碰撞之間都有一個確定的距離 d。球的平均自由程是三條路徑的平均長度。

因此，$\mathrm{\lambda\:=\:\frac{d_{1}\:+\:d_{2}\:+\:d_{3}}{3}}$

平均自由程的推導

讓我們假設理想氣體中一個運動的球形分子。氣體分子相互碰撞，但我們將研究我們所考慮的運動分子，而氣體的其餘分子是靜止的。

讓我們假設運動分子具有直徑 d。這個特殊的分子穿過氣體，掃出一個短圓柱體，其橫截面積為 $\mathrm{\pi\:d^{2}}$

在連續碰撞之間，如果這個分子以速度 v 運動一小段時間 t，它將移動 vt 的距離。現在，如果掃過圓柱體，則得到體積 $\mathrm{\pi\:d^{2}\times\:vd}$。

因此，運動分子的碰撞次數可以透過該體積中存在的點分子數量來獲得。

因此，單位體積中的分子數為 $\mathrm{\frac{N}{V}}$

所以，圓柱體中的分子數量是 $\mathrm{\pi\:d^{2}\:vd}\times\:\frac{N}{V}$

平均自由程將如下所示

$$\mathrm{\lambda\:=\:\frac{總時間t內走過的距離}{時間t內的碰撞次數}\:\thickapprox\:\frac{vt}{\pi\:d^{2}vt\frac{N}{V}}\thickapprox\:\frac{1}{\pi\:d^{2}\frac{N}{V}}}$$

推匯出的平均自由程方程是近似的，因為在推導的開始，假設只有被研究的分子在運動，而氣體的其餘分子是靜止的。在上式中，由於分子在分母和分子裡速度不同（一個是平均速度，一個是相對速度），因此兩者之間存在 √2 的差異。

所以，最終方程是

$\mathrm{\lambda\:=\frac{1}{\sqrt{2}\pi\:d^{2}\frac{N}{V}}}$

結論

碰撞是兩個或多個物體在短時間內相互碰撞，施加力導致這些物體運動發生變化。碰撞分為彈性碰撞和非彈性碰撞兩種型別。弛豫時間是導體中自由電子碰撞之間的時間間隔。用 𝜏 表示。平均自由程是運動分子在連續碰撞之間移動的平均距離。平均自由程方程是 $\mathrm{\lambda\:=\frac{1}{\sqrt{2}\pi\:d^{2}\frac{N}{V}}}$

常見問題解答

1. 寫出平均自由程所依賴的因素。

平均自由程取決於

• 分子數量

• 密度

• 分子半徑

• 壓力、溫度

2. 定義相對速度

相對速度是物體相對於另一個物體的相對位置隨時間的變化率。

3. 各舉一個彈性碰撞和非彈性碰撞的例子。

彈性碰撞的一個例子是原子之間的碰撞，而非彈性碰撞的一個例子是公共汽車撞到樹上。

4. 兩個物體在非彈性碰撞後如何運動？

在非彈性碰撞中，兩個碰撞物體之間沒有相應的運動。因此，這些物體作為一個整體一起運動。

5. 寫出非彈性碰撞的另一個名稱

非彈性碰撞的另一個名稱是塑性碰撞。

6. 什麼是平均速度？

物體在總時間 t 內走過的總位移稱為平均速度。

7. 指出應用於彈性碰撞但不應用於非彈性碰撞的守恆定律。

動能守恆定律應用於彈性碰撞，但不應用於非彈性碰撞。