平均絕對偏差

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介紹

各種統計術語和方法用於表示、分析和比較數學中的資料。資料集包含許多數字或值，分析起來相當困難。在這個方向上，各種平均值和偏差術語被用來預測過程的行為。在本教程中，我們將學習集中趨勢、方差、偏差、平均值、絕對值和標準差的一些示例。

集中趨勢

集中趨勢是描述性統計中的一個重要概念。在統計學中，集中趨勢被定義為代表機率分佈中心值的唯一值。它沒有說明資料集的個體資訊；然而，它指的是一個索引值，該索引值總結了整個資料集。各種術語已被用來描述資料集的集中趨勢。但是，下面描述了一些重要的術語。

• 平均值 - 平均值或算術平均值是將所有樣本值加總除以樣本總數的比率。

• 中位數 - 資料集的中間值（但是資料集按升序排列）。

• 眾數 - 它表示資料集中最頻繁的值。

• 幾何平均數 - 幾何平均數定義為所有資料的乘積的 n 次方根。換句話說，它也定義為所有資料點的對數值的算術平均數。

• 算術平均數 - 算術平均數包括資料集中所有資料的平均值。

• 調和平均數 - 調和平均數是算術平均數的倒數。

• 加權平均數 - 這種型別的平均數用於總結資料集，以便最大限度地重視資料集中特定值。中值範圍 - 它定義為資料集的最大值和最小值的算術值。

方差和偏差

方差和偏差是金融領域最常用的兩個統計引數。在數學上，這兩個引數彼此相關。讓我們詳細討論每個術語。

方差

方差定義為與平均值（算術）的平方差的算術平均值。它告訴我們單個數據與資料集平均值的距離。換句話說，它用於找到預期偏差與實際值的差異。資料集的方差在數學上與偏差相關，如下面的表示式所示。

$$\mathrm{方差 = (標準差)^2=\sigma ^2}$$

評估資料集中方差的一般公式如下所示。

$\mathrm{ 方差 =\sigma ^2=\frac{∑(X-μ)^2}{P}}$（對於分組資料）

$\mathrm{方差 =\sigma^2=\frac{\sum(X-( \underline{\bar{x}}) )^2}{P-1}}$（對於非分組資料）

其中 X、μ、 和 P 分別表示單個數據的值、總體平均值、資料的平均值和資料的總數。

偏差

偏差衡量方差和單個數據之間的差異。它告訴我們資料分散的程度。偏差值低表示觀察到的資料更接近平均值。在偏差值較高的情況下，觀察值和平均值之間存在顯著差異。

偏差型別

統計學中存在幾種型別的偏差，如下所示。

• 平均絕對偏差

• 標準差

• 平均絕對偏差

• 最大絕對偏差

平均絕對偏差

它被定義為每個觀察到的資料與整個資料集平均值的平均距離。它縮寫為“MAD”。以下公式可用於確定平均絕對偏差。

$$\mathrm{MAD =\sum \frac{距中心測量的絕對值偏差}{樣本總數}= \sum \frac{|X-\underline{\bar{x}}|}{P}}$$

需要遵循以下步驟來評估平均絕對偏差。

• 評估整個資料集的平均值。

• 找到每個觀測值與平均值之間的差異。

• 找到獲得的差值的算術平均值。所得值將給出所需的平均絕對偏差。

標準差

標準差是方差的平方根，它告訴我們資料分散的程度。它用符號“σ”表示，縮寫為 SD。SD 值低表示觀察到的資料更接近平均值。在 SD 值較高的情況下，觀察值和平均值之間存在顯著差異。評估資料集中 SD 的一般公式如下所示。

$\mathrm{ SD =\sigma =\sqrt{\frac{\sum (X-μ)^2}{P}}}$（對於分組資料）

$\mathrm{ SD =\sigma =\sqrt{\frac{\sum (X-\underline{\bar{x}})^2}{P-1}}}$（對於非分組資料）

其中 $\mathrm{X, \mu, \underline{\bar{x}}, and\: P }$ 分別表示單個數據的值、總體平均值、資料的平均值和資料的總數。

標準差和平均絕對偏差之間的異同

標準差和平均絕對偏差之間的相似之處如下所述。

• 兩種偏差都用於量化資料集中偏差。

• 算術平均值用於計算兩種偏差。

但是，這兩種偏差之間存在一些差異，總結如下。

序號	標準差	平均絕對偏差
1	它通常用於統計學。	它是查詢偏差的另一種方法。
2	它可以使用公式計算，$\mathrm{\sigma =\sqrt{\frac{\sum (X-\underline{\bar{x}})^2}{P-1}}}$	它可以使用公式計算， $\mathrm{MAD=\sum \frac{ |X-\underline{\bar{x}}|}{P}}$
3	SD 的值始終小於 MAD。	MAD 的值始終大於 SD。

已解決示例

示例 1

評估以下資料集的平均絕對偏差：10、5、19、30、45、60、55 和 72。

解決方案

資料的平均值 = $\mathrm{\underline{\bar{x}}=\frac{10+5+19+30+45+60+55+72}{8}=37}$

平均絕對偏差可以使用以下公式獲得，

$$\mathrm{MAD=\sum \frac{|X-\underline{\bar{x}|}}{P}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow MAD=\frac{|10-37|+|5-37|+|19-37|+|30-37|+|45-37|+|60-37|+|55-37|+|72-37|}{8}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow MAD=21}$$

∴ 給定資料集的平均絕對偏差為 21。

示例 2

評估分組資料的方差和標準差。

類別間隔	0-4	4-8	8-12	12-16	16-20	20-24
頻率	2	3	1	5	6	8

解決方案

類別間隔	頻率 (f)	類別標記 (xi)	fxi	fxi2
0-4	2	2	4	8
4-8	3	6	18	108
8-12	1	10	10	100
12-16	5	14	70	980
16-20	6	18	108	1944
20-24	8	22	176	3872
	$$\mathrm{\sum \mathit{f}=25}$$		$$\mathrm{\sum \mathit{f}x_i=386}$$	$$\mathrm{\sum \mathit{f}x_i^2=7012}$$

$$\mathrm{平均值 = \bar{x}=\frac{\sum fx_i}{\sum f}=\frac{386}{25}=15.44}$$

$$\mathrm{方差 =\frac{1}{\sum f-1}[\sum fx_i^2-\frac{1}{\sum f}(\sum fx_i )^2]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow 方差 =\frac{1}{25-1}[7012-\frac{1}{25}(386)^2]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow 方差 =43.84}$$

現在，標準差 $\mathrm{= \sqrt{方差}=\sqrt{43.84}=6.62}$

∴ 給定資料集的方差和標準差分別為 43.84 和 6.62。

結論

本教程簡要介紹了集中趨勢及其各種平均值。本教程中說明了平均絕對偏差和標準偏差的基本定義。此外，還說明了這兩種偏差之間的異同。此外，還提供了一些已解決的示例，以更好地闡明此概念。總之，本教程可能有助於理解平均絕對偏差的基本概念。

常見問題解答

1. 標準差為零意味著什麼？

標準差值為零表示資料集中所有觀察到的資料都相等。

2. 標準差的侷限性是什麼？

計算偏差的困難是標準差的主要缺點。此外，它無法在開區間中計算。

3. 標準差的良好值應該是多少？

大多數數學家希望將標準差值保持在 ±2 的範圍內。

4. 方差為零意味著什麼？

資料集的零方差表示資料值是恆定的。

5. 平均絕對偏差的優點是什麼？

平均絕對偏差的主要優點包括與標準偏差相比的簡單性和有效性。