給定半徑的半圓中最大化一個值

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你如何理解標題中嵌入的問題，即給定半徑的半圓中最大化一個值？

標題“給定半徑的半圓中最大化一個值”聽起來不太清晰，不是嗎？讓我們在下面的文章中討論它的含義。

根據標題，如果我們有一個半徑為 R 的半圓，我們需要找到表示式 F = PS² + PQ 的最大值，其中 P 是半圓圓周上的一個點，PQ 和 PS 是連線 P 到直徑兩端的兩條線段。仍然不明白？請看下面的圖，然後嘗試理解。

你現在理解這個問題了嗎？很好，現在讓我們來看一下我們需要實現的解決問題的邏輯。

如果你仔細觀察該圖，你會注意到，無論點 P 在圓周上的位置如何，三角形 PQS 始終是一個直角三角形。

因此，由於 PQS 是直角三角形，我們可以使用勾股定理將該三角形的邊關聯起來，如下所示：

QS² = PQ² + PS² (h²= b²+p²)

由於 QS 是半圓的直徑，我們知道 QS = 2R。將此代入上式，我們得到：

4R² = PQ² + PS²

• 我們可以將此方程改寫如下：PS² = 4R² − PQ²

• 我們可以將 PS² 的此表示式代入 F 的表示式中，得到：F = 4R² − PQ² + PQ

現在進入下一步，你可能已經學習了最大值和最小值。為了找到 F 的最大值，我們可以使用最大值和最小值的 concept。我們對 F 關於 PQ 求導，並將導數設定為零以找到 F 的臨界點。

dF/dPQ = −2PQ + 1

• 將此導數設定為零，我們得到：−2PQ + 1 = 0

• 解出 PQ，我們得到：PQ = ½

• 將 PQ 的此值代入 F 的表示式中，我們得到：

F = 4R² + 1/4

因此，F 的最大值為 4R² + 1/4，當 PQ = 1/2 時出現。此最大值與點 P 在半圓圓周上的位置無關。

方法

討論了求解問題的邏輯之後，讓我們討論一下將上述邏輯轉換為可執行程式碼的分步方法。

• 我們將以半圓的半徑作為輸入。

• 現在，我們將使用上面得出的公式來計算最大值 (4R² + 1/4)

• 現在我們將最大值列印到控制檯。

C++ 程式碼實現

理論太多？現在，我們有了邏輯和方法，讓我們將它們轉換為可執行的程式碼。這是給定半徑的半圓中最大化值的 C++ 程式碼實現。

示例

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;double findMaxF(double R) {    
   double F = 4 * R * R + 1.0 / 4.0;    
   return F;
}
int main() {    
   double R = 3.5;    
   double maxF = findMaxF(R);    
   cout << "The maximum value of F is: " << maxF << endl;    
   return 0;
}

輸出

The maximum value of F is: 49.25

時間複雜度：O(1)

空間複雜度：O(1)

結論

在本文中，我們介紹了給定半徑的半圓中最大化值的程式背後的邏輯。希望你現在對這個概念有清晰的瞭解。