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法律研究瞬時功率和平均功率公式
單相系統
瞬時功率
交流電路中的瞬時功率定義為元件上的瞬時電壓 (v) 和流過元件的瞬時電流 (i) 的乘積，用小寫字母 p 表示。
瞬時功率，$\mathrm{p=v\times\:i}$
由於瞬時電壓和瞬時電流的值會隨時變化，因此瞬時功率也會隨時間變化。瞬時功率 (p) 以瓦特為單位測量。瞬時功率可以是正的也可以是負的。正瞬時功率表示功率從電源流向負載，而負瞬時功率表示功率從負載流向電源。
瞬時功率公式
情況 1 – 純電阻電路
在純電阻電路的情況下，瞬時電流值和電壓值為：
$$\mathrm{v=V_{m}\sin\omega\:t}$$
$$\mathrm{i=I_{m}\sin\omega\:t}$$
因此，瞬時功率將為：
$$\mathrm{p=v\times\:i=(v_{m}\sin\omega\:t)\times\:(I_{m}\sin\omega\:t)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:p=\frac{V_{m}I_{m}}{2}-\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos2\omega\:t\:\:\:...(1)}$$
情況 2 – 純電感電路
對於純電感電路，瞬時電壓和電流的方程由下式給出：
$$\mathrm{v=V_{m}\sin\omega\:t}$$
$$\mathrm{i=I_{m}\sin(\omega\:t-90)}$$
因此，瞬時功率將為：
$$\mathrm{p=v\times\:i=(V_{m}\sin\omega\:t)\times\:(I_{m}\sin(\omega\:t-90))}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:p=-\frac{V_{m}I_{m}}{2}\sin2\omega\:t\:\:\:...(2)}$$
情況 3 – 純電容電路
純電容電路的瞬時電壓和電流方程由下式給出：
$$\mathrm{v=V_{m}\sin\omega\:t}$$
$$\mathrm{i=I_{m}\sin(\omega\:t+90)}$$
因此，瞬時功率將為：
$$\mathrm{p=v\times\:i=(V_{m}\sin\omega\:t)\times\:(I_{m}\sin(\omega\:t+90))}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:p=\frac{V_{m}I_{m}}{2}\sin2\omega\:t\:\:\:...(3)}$$
從公式 (1)、(2) 和 (3) 可以看出，單相系統中的瞬時功率以兩倍於電源頻率的變化從零到最大值，並且可以是正的或負的。
平均功率
平均功率定義為一個週期內瞬時功率的平均值，用大寫字母 P 表示。它也以瓦特為單位測量。
平均功率，p = 一個週期內 p 的平均值
$$\mathrm{p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}p\:d\omega\:t\:\:\:\:...(4)}$$
平均功率公式
情況 1 – 純電阻電路
$$\mathrm{\mathrm{p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}p\:d\omega\:t=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{V_{m}I_{m}}{2}-\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos2\omega\:t\:d\omega\:t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:p=\frac{V_{m}I_{m}}{2}=\frac{V_{m}}{\sqrt{2}}\times\:\frac{I_{m}}{\sqrt{2}}=VI\:\:\:...(5)}$$
其中，V 和 I 分別是電壓和電流的有效值。
情況 2 – 純電感電路
$$\mathrm{p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}p\:d\omega\:t=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}-\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos2\omega\:t\:d\omega\:t=0\:\:\:...(6)}$$
因此，純電感器吸收的平均功率為零。
情況 3 – 純電容電路
$$\mathrm{p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}p\:d\omega\:t=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos2\omega\:t\:d\omega\:t=0\:\:\:...(7)}$$
因此，純電容器吸收的平均功率也為零。
三相系統
瞬時功率
眾所周知，單相瞬時功率（對於滯後功率因數負載）由下式給出：
$$\mathrm{p=\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos\varphi-\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(2\omega\:t-\varphi)}$$
用有效值表示，它變為：
$$\mathrm{p=VI\cos\varphi-VI\cos(2\omega\:t-\varphi)}$$
現在，三相（RYB 相序）中的瞬時功率可以寫成：
$$\mathrm{p_{R}=V_{ph}I_{ph}\cos\varphi-V_{ph}I_{ph}\cos(2\omega\:t-\varphi)}$$
$$\mathrm{p_{Y}=V_{ph}I_{ph}\cos\varphi-V_{ph}I_{ph}\cos(2\omega\:t-\varphi-120^{\circ})}$$
$$\mathrm{p_{H}=V_{ph}I_{ph}\cos\varphi-V_{ph}I_{ph}\cos(2\omega\:t-\varphi+120^{\circ})}$$
因此，三相系統中的總瞬時功率由下式給出：
$$\mathrm{p=P_{R}+P_{Y}+P_{H}}$$
$$\mathrm{p=3V_{ph}I_{ph}\cos\varphi-V_{ph}I_{ph}\begin{bmatrix}\cos(2\omega\:t-\varphi)\+\cos(2\omega\:t-\varphi-120^{\circ})\ +\cos(2\omega\:t-\varphi+120^{\circ})\end{bmatrix}}$$
$$\mathrm{\because\begin{bmatrix}\cos(2\omega\:t-\varphi)\+\cos(2\omega\:t-\varphi-120^{\circ})\ +\cos(2\omega\:t-\varphi+120^{\circ})\end{bmatrix}=0}$$
因此，
$$\mathrm{p=3V_{ph}I_{ph}\cos\varphi\:\:\:...(8)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:p=\sqrt{3}V_{L}I_{L}\cos\varphi\:\:\:...(9)}$$
公式 (8) 和 (9) 表明三相瞬時功率是恆定的，而不是電源頻率的函式。
平均功率
根據平均功率的定義，我們得到：
$$\mathrm{P=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}3V_{ph}I_{ph}\cos\varphi\:d\omega=3V_{ph}I_{ph}\cos\varphi}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:P=3V_{ph}I_{ph}\cos\varphi=\sqrt{3}V_{L}I_{L}\cos\varphi\:\:\:...(10)}$$
因此，在三相系統的情況下，平均功率和瞬時功率相同。
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