平均速度和平均速率

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引言

平均速度和平均速率是運動學中的兩個重要概念。物體所走距離與所用時間的比值稱為速度。

速率是物體位移與所用時間的比值。速度是標量。速率是向量。必須知道大小和方向才能將速率定義為向量。速度和速率的區別在於，速率是有方向的速度。例如，一輛腳踏車以50公里/小時的速度行駛表示其速度。一輛腳踏車以50公里/小時的速度向東行駛表示其速率。

$$\mathrm{速度= s=\frac{距離}{時間}}$$

$$\mathrm{速率= v=\frac{位移}{時間}}$$

總路程與總時間的比值稱為平均速度。距離定義為物體位置的變化。但在特定方向上，位置變化稱為位移。在相等的時間段內，物體覆蓋的距離不相等，則其速率被稱為可變的。但在相等的時間段內，物體覆蓋的距離相等，則其速率被稱為均勻的。

什麼是平均速率？

位移變化與位移發生時的時間間隔的比值稱為平均速率。位移的符號決定平均速率是正數還是負數。米每秒是平均速率的SI單位。表示為ms^-1。它也是一個向量。位移變化表示為Δx，時間間隔表示為Δt。

$$\mathrm{平均速率= \overrightarrow{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}m/s}$$

如何求平均速率？

求平均速率的公式為：

平均速率 $\mathrm{\overrightarrow{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}m/s}$

位移變化

$$\mathrm{\Delta x=x_f-x_i}$$

$$\mathrm{x_i -初始位移}$$

$$\mathrm{x_f-最終位移}$$

時間間隔

$$\mathrm{\Delta t=t_f-t_i}$$

$$\mathrm{t_i-結束時間}$$

$$\mathrm{t_f-開始時間}$$

因此

$$\mathrm{\overrightarrow{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}}$$

$$\mathrm{\Delta x-位移變化}$$

$$\mathrm{\Delta t-總時間}$$

$$\mathrm{\overrightarrow{v}-平均速率}$$

平均速率示例

在影像中，物體從A移動到B是初始位移，然後從B移動到C是最終位移。X軸和Y軸分別表示位移和時間。起始時間為零。設初始位移為45.4米，最終位移為36米。物體總共花費4秒。

當起始時間為零時，平均速率為

$$\mathrm{\overrightarrow{v}=\frac{\Delta x}{t}}$$

$$\mathrm{\Delta x=x_f-x_i}$$

給定資料

$$\mathrm{x_f=36\:m}$$

$$\mathrm{x_i=45.4\:m}$$

$$\mathrm{t=4\:sec}$$

$$\mathrm{\overrightarrow{v}=\frac{36-45.4}{4}=-\frac{9.4}{4}=-2.35\:ms^{−1}}$$

平均速率為-2.35m/s。我們已經知道，位移的符號決定平均速率是正數還是負數。此處位移的符號為負數，因此平均速度值也為負數。

平均速度和平均速率的區別

平均速度	平均速率
總路程與總時間的比值稱為平均速度。	位移變化與位移發生時的時間間隔的比值稱為平均速率。
平均速度沒有特定方向。因此，它是標量。	平均速率總是取決於方向。因此，它是向量。
平均速度始終為正。	平均速率可以為正或負。因為平均速率取決於方向和位移。
平均速度 $\mathrm{S=d/t\:ms^{−1}}$	平均速率 $\mathrm{\overrightarrow{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}m/s}$
示例：一輛腳踏車以40公里/小時的速度行駛。	一輛腳踏車以40公里/小時的速度向南行駛。

表1：平均速度和平均速率的區別

平均速率何時為零？

當物體在位移後試圖返回起始位置或物體處於靜止點時，平均速率為零。換句話說，如果物體的位移為零，則平均速率變為零。例如，一輛汽車從A點行駛到B點，然後返回A點。在這種情況下，可以計算汽車的速度，但不能計算速率，因為位移為零。但如果一輛汽車從A點行駛到B點並在B點停止。在這種情況下，可以計算位移。因此，在這種情況下，平均速率沒有變為零的可能性。

結論

速度定義為粒子位置變化的比率。在特定方向上發生粒子的位置變化比率稱為速率。總路程與總時間的比值稱為平均速度。位移變化與位移發生時的時間間隔的比值稱為平均速率。角速度也定義為角位移變化的差值。角速度隨時間的變化率定義為角加速度。如果物體的位移為零，則平均速率變為零。平均速度和平均速率的SI單位為米每秒$\mathrm{(ms^{−1})}$。

常見問題

Q1. 一列長200米火車透過一座長800米的橋樑。當它以36公里/小時的均勻速度行駛時，求它穿過橋樑所需的時間。

答：已知

$$\mathrm{速度=36\:km/h}$$

$$\mathrm{v=\frac{36×1000}{3600}=10\:m/s}$$

總距離 $\mathrm{=d=200+800=1000\:m}$

$$\mathrm{速度\:v=\frac{d}{t}}$$

$$\mathrm{t=\frac{d}{v}\:sec}$$

穿過橋樑所需的時間 $\mathrm{=\frac{1000}{10}=100\:sec}$

Q2. 定義標量和向量。

答：具有大小但沒有方向的物理量稱為標量。速度、時間、體積、溫度、距離和密度是標量的例子。既有大小又有方向的量稱為向量。速率、角速度、力、電場、線性動量和偏振是向量的例子。向量的大小稱為向量的模。

Q3. 什麼是角速度？

答：物體的角速度定義為它每秒繞旋轉軸旋轉的角度。它是一個向量。角速度是物體在時間t內所成的角度。

角速度 = $\mathrm{ω=\frac{\theta}{t}\:rad/sec}$

這裡

θ=物體所成的角度

t=時間

Q4. 加速度和速度之間有什麼關係？

答：物體速度變化與時間的比值稱為加速度。它是一個向量，因為它既有大小又有方向。

$$\mathrm{加速度,\:a=\frac{v_f-v_i}{t}}$$

$\mathrm{v_f}$ =最終速度

$\mathrm{v_i}$ =初始速度

t=時間（秒）

Q5. 一個物體用a m/s的速度行駛其行程的一半，用b m/s的速度行駛另一半。計算物體整個行程的平均速度。

答：2D是物體經過的總距離。$\mathrm{t_1}$和$\mathrm{t_2}$分別是物體在前半段和後半段所用的時間。S是平均速度。

通常，

$$\mathrm{平均速度\:S=\frac{d}{t}}$$

a是前半段的速度，b是後半段的速度。因此，從速度公式可知：

$$\mathrm{t=\frac{2D}{a}}$$

$$\mathrm{t_1=\frac{D}{a};\:t_2=\frac{D}{b}}$$

$$\mathrm{總時間\:t=t_1+t_2}$$

$$\mathrm{t=\frac{D}{a}+\frac{D}{b}=D(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}$$

$\mathrm{\therefore}$ 將兩個t的方程等同

$$\mathrm{\frac{2D}{s}=D(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}$$

$$\mathrm{平均速度=S=\frac{2ab}{a+b}m/s}$$