使用邏輯閘實現布林函式

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布林函式是一種邏輯表示式，它返回一個布林值，該值要麼為真 (TRUE)，要麼為假 (FALSE)。在數位電子電路中，邏輯閘用於實現條件、邏輯或布林表示式。

邏輯閘是一種數位電路，它對一個或多個輸入變數或訊號執行特定的邏輯運算，並生成輸出訊號。邏輯閘的輸出由其邏輯函式決定，該函式基於布林代數。

在數位電子技術中，有多種型別的邏輯閘可用，例如與門、或門、非門、與非門、或非門、異或門、異或非門等。我們可以使用這些邏輯閘來實現不同型別的布林函式。

在深入研究使用邏輯閘實現布林函式之前，讓我們先了解一下不同邏輯閘的基本介紹。

什麼是或門？

或門是一種基本的邏輯閘。或門可以接受兩個或兩個以上的輸入，但只產生一個輸出。如果其任何一個輸入處於高電平 (邏輯 1) 狀態，則或門產生高電平 (邏輯 1) 輸出；否則，它產生低電平 (邏輯 0) 輸出。因此，只有當所有輸入都處於低電平 (邏輯 0) 狀態時，或門的輸出才為低電平或邏輯 0 狀態。或門的邏輯符號如圖 1 所示。

或門輸出的表示式為：

$$\mathrm{Y = A + B + C + \cdot\cdot\cdot}$$

其中，A、B、C……是輸入變數，Y 是或門的輸出變數。“+”符號表示或運算。

什麼是與門？

與門是一種基本的邏輯閘。與門可以有兩個或兩個以上的輸入，但只產生一個輸出。如果其任何一個輸入處於低電平 (邏輯 0) 狀態，則與門產生低電平 (邏輯 0) 輸出；否則，它產生高電平 (邏輯 1) 輸出。因此，只有當所有輸入都處於高電平 (邏輯 1) 狀態時，與門的輸出才為高電平或邏輯 1 狀態。與門的邏輯符號如圖 2 所示。

與門輸出的表示式為：

$$\mathrm{Y = A \cdot B \cdot C ...}$$

其中，點 (.) 符號表示與運算。

什麼是非門？

非門是一種基本的邏輯閘，只有一個輸入和一個輸出。它是一種邏輯閘，其輸出始終與其輸入互補。因此，非門也稱為反相器。

如果非門的輸入為低電平 (邏輯 0)，則它產生高電平 (邏輯 1) 輸出。如果輸入為高電平 (邏輯 1)，則非門產生低電平 (邏輯 0) 輸出。非門的邏輯符號如圖 3 所示。

非門輸出的表示式為：

$$\mathrm{Y = \bar{A} = A' }$$

其中，輸入變數上的橫線 (-) 表示非運算。

現在，讓我們瞭解一下使用邏輯閘實現布林函式的方法。

使用邏輯閘實現布林函式

在本節中，我們將學習如何使用邏輯閘實現任何型別的布林函式。將布林函式實現到邏輯電路的最簡單方法是從輸出開始，然後向輸入方向工作。現在，讓我們透過示例來了解互補過程。

雙變數布林函式的實現

考慮一個有兩個變數的布林函式：

$$\mathrm{F = A\bar{B} + AB}$$

我們必須使用邏輯閘來實現此布林函式。

為了實現此布林函式，從最終表示式 AB'+AB 開始。由於它是兩項的總和，因此它必須是雙輸入或門的輸出。因此，繪製一個有兩個輸入的或門，如圖 4 所示。

現在，項 AB' 是一個雙輸入與門的輸出，其輸入為 A 和 B'。其中，B' 又是一個輸入為 B 的非門的輸出。項 AB 是一個雙輸入與門的輸出，其輸入為 A 和 B。因此，邏輯電路將如圖 5 所示。

透過這種方式，我們可以使用邏輯閘實現雙變數布林函式。

三變數布林函式的實現

考慮一個三變數布林函式：

$$\mathrm{F = \overline{AB} + ABC +(\overline{B+C})}$$

我們必須使用邏輯閘來實現此布林函式。

我們將從最終表示式 $\mathrm{\overline{AB} + ABC +(\overline{B+C})}$ 開始實現。我們可以看到它有三項之和，因此它必須是三輸入或門的輸出。因此，我們將繪製一個具有三個輸入的或門，如圖 6 所示。

這裡，項 $\mathrm{(\overline{AB})}$ 必須是輸入為 AB 的非門的輸出。第二項 ABC 必須是三輸入與門的輸出，其輸入為 A、B 和 C，第三項 $\mathrm{(\overline{B+C})}$ 必須是輸入為 B + C 的非門的輸出。因此，我們在邏輯電路中引入了兩個非門和一個與門，如圖 7 所示。

現在，AB 必須是雙輸入與門的輸出，其輸入為 A 和 B。而 B + C 必須是雙輸入或門的輸出，其輸入為 B 和 C。因此，我們在邏輯電路中引入了一個與門和一個或門，如圖 8 所示。

這是使用邏輯閘實現給定布林函式的完整實現。因此，透過這種方式，我們可以使用邏輯閘實現任何數量變數的任何布林函式。