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法律研究如果 $2x + 3y = 14$ 且 $2x - 3y = 2$，求 $xy$ 的值。[提示：使用 $(2x+3y)^2 - (2x-3y)^2 = 24xy$]
已知
$2x + 3y = 14$ 且 $2x - 3y = 2$
求證
我們需要求得 $xy$ 的值。
解答
已知方程為 $2x + 3y = 14$ 且 $2x - 3y = 2$。這裡，我們需要求得 $xy$ 的值。因此，我們可以利用恆等式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，透過平方和減法的步驟來算得所需的值。
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.............(I)
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.............(II)
我們考慮：
$2x + 3y = 14$
兩邊平方，得到：
$(2x + 3y)^2 = (14)^2$
$(2x)^2+2(2x)(3y)+(3y)^2=196$ [根據 (I)]
$4x^2+12xy+9y^2=196$..........(III)
現在，
$2x - 3y = 2$
兩邊平方，得到：
$(2x - 3y)^2 = (2)^2$
$(2x)^2-2(2x)(3y)+(3y)^2=4$ [根據 (II)]
$4x^2-12xy+9y^2=4$..........(IV)
從 (III) 中減去 (IV)，得到：
$(4x^2+12xy+9y^2)-(4x^2-12xy+9y^2)=196-4$
$4x^2-4x^2+12xy+12xy+9y^2-9y^2=192$
$24xy=192$
$xy=\frac{192}{24}$
$xy=8$
因此，$xy$ 的值為 $8$。
更新於： 2023 年 4 月 1 日
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