如何將有限自動機轉換為正則表示式？

問題

將給定的有限自動機 (FA) 轉換為正則表示式 (RE)。

解答

將DFA轉換為正則表示式有兩種常用的方法：

  • Arden 方法
  • 狀態消除法

讓我們考慮使用狀態消除法將 FA 轉換為 RE。

規則

狀態消除法的規則如下：

規則 1

DFA 的初始狀態不能有任何入邊。

如果初始狀態有任何入邊，則建立一個新的初始狀態，使其沒有任何入邊。

規則 2

DFA 中必須只有一個最終狀態。

如果存在多個最終狀態，則將所有最終狀態轉換為非最終狀態，並建立一個新的單個最終狀態。

規則 3

DFA 的最終狀態不能有任何出邊。

如果存在，則建立一個新的最終狀態，使其沒有任何出邊。

規則 4

逐一消除所有中間狀態。

現在，應用這些規則可以輕鬆地將 FA 轉換為 RE。

給定的 FA 如下：

步驟 1

初始狀態 q1 有一個入邊，因此建立一個新的初始狀態 qi。

步驟 2

最終狀態 q2 有一個出邊。因此，建立一個新的最終狀態 qf。

步驟 3

開始消除中間狀態

首先消除 q1

有一條路徑透過 q1 從 qi 到 q2。因此，在消除 q1 後，我們可以連線從 qi 到 q2 的直接路徑，其代價為：

εc*a=c*a

使用狀態 qi 在 q2 上有一個迴圈。因此，在消除 q1 後，我們向 q2 新增一個直接迴圈，其代價為：

b.c*.a=bc*a

消除 q1 後，FA 看起來像這樣：

其次消除 q2

有一條從 qi 到 qf 的直接路徑，因此，我們可以直接消除 q2，其代價為：

C*a(d+bc*a)* ε = c*a(d+bc*a)*

這就是給定有限自動機的最終正則表示式。

更新於：2021年6月12日

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