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法律研究圖同態
引言
圖同態是圖論和計算科學中的一個重要概念。在C語言環境下，圖同態是兩個圖之間的一種對映，它保持它們頂點之間的鄰接關係。它通常表示為一個函式，該函式將一個圖的頂點對映到另一個圖的頂點，同時保持它們之間的邊。這個概念允許考慮和分析不同圖之間的基本相似性和關係。透過在C語言中實現圖同態，開發人員可以探索各種應用，例如圖匹配、圖著色和圖同構測試，從而促進圖論和相關計算任務的發展。
方法一：回溯演算法
步驟1 − 初始化一個空的對映陣列。
步驟2 − 從第一個圖的第一個頂點開始。
步驟3 − 對於第二個圖中的每個頂點，檢查它是否可以對映到當前頂點。
步驟4 − 如果找到有效的對映，則將其新增到對映陣列中，並遞迴地繼續下一個頂點。
步驟5 − 如果對映不可行，則回溯並嘗試另一個可能的對映。
步驟6 − 重複步驟3-5，直到所有頂點都被對映或沒有找到有效的對映。
示例
#include <stdbool.h>
#include <stdio.h>
#define MAX_VERTICES 100
// Function to check if a mapping preserves adjacency relationships
bool isHomomorphism(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int mapping[], int n, int v, int u) {
for (int i = 0; i < v; i++) {
if (graph1[v][i] && graph2[u][mapping[i]] == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
// Backtracking approach to find graph homomorphism
bool findHomomorphismUtil(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int mapping[], int n, int v) {
if (v == n) {
return true; // All vertices mapped
}
for (int u = 0; u < n; u++) {
if (isHomomorphism(graph1, graph2, mapping, n, v, u)) {
mapping[v] = u; // Add mapping
if (findHomomorphismUtil(graph1, graph2, mapping, n, v + 1)) {
return true;
}
mapping[v] = -1; // Remove mapping (backtrack)
}
}
return false;
}
bool findHomomorphism(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int n) {
int mapping[MAX_VERTICES];
// Initialize mapping with -1
for (int i = 0; i < n; i++) {
mapping[i] = -1;
}
return findHomomorphismUtil(graph1, graph2, mapping, n, 0);
}
int main() {
// Example graphs (adjacency matrices)
int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES] = {
{0, 1, 0},
{1, 0, 1},
{0, 1, 0}
};
int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES] = {
{0, 1, 1},
{1, 0, 0},
{1, 0, 0}
};
int n = 3; // Number of vertices
if (findHomomorphism(graph1, graph2, n)) {
printf("A graph homomorphism exists.\n");
} else {
printf("No graph homomorphism exists.\n");
}
return 0;
}
輸出
A graph homomorphism exists.
方法二：約束滿足問題 (CSP) 演算法
步驟1 − 為第二個圖中的每個頂點建立一個域，最初包含第一個圖的所有頂點。
步驟2 − 迭代第一個圖中的每個頂點，並從第二個圖中相應頂點的域中分配一個值，同時滿足鄰接約束。
步驟3 − 如果所有頂點都被賦值，則返回真。否則，回溯並嘗試下一個可能的賦值。
步驟4 − 重複步驟2-3，直到找到有效的賦值或所有可能的賦值都被耗盡。
示例
#include <stdbool.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_VERTICES 100
// Function to check if a mapping preserves adjacency relationships
bool isHomomorphism(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int mapping[], int n, int v, int u) {
for (int i = 0; i < v; i++) {
if (graph1[v][i] && graph2[u][mapping[i]] == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
// CSP-based approach to find graph homomorphism
bool findHomomorphismUtil(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int mapping[], bool domain[][MAX_VERTICES], int n, int v) {
if (v == n) {
return true; // All vertices assigned values
}
for (int u = 0; u < n; u++) {
if (domain[v][u] && isHomomorphism(graph1, graph2, mapping, n, v, u)) {
mapping[v] = u; // Assign value
bool newDomain[n][MAX_VERTICES];
memcpy(newDomain, domain, sizeof(bool) * n * MAX_VERTICES);
// Update domain for adjacent vertices
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (graph1[v][i]) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
newDomain[i][j] = newDomain[i][j] && (j == u);
}
}
}
if (findHomomorphismUtil(graph1, graph2, mapping, newDomain, n, v + 1)) {
return true;
}
}
}
return false;
}
bool findHomomorphism(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int n) {
int mapping[MAX_VERTICES];
bool domain[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES];
// Initialize mapping with -1 and domain with true
for (int i = 0; i < n; i++) {
mapping[i] = -1;
for (int j = 0; j < n; j++) {
domain[i][j] = true;
}
}
return findHomomorphismUtil(graph1, graph2, mapping, domain, n, 0);
}
int main() {
// Example graphs (adjacency matrices)
int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES] = {
{0, 1, 0},
{1, 0, 1},
{0, 1, 0}
};
int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES] = {
{0, 1, 1},
{1, 0, 0},
{1, 0, 0}
};
int n = 3; // Number of vertices
if (findHomomorphism(graph1, graph2, n)) {
printf("A graph homomorphism exists.\n");
} else {
printf("No graph homomorphism exists.\n");
}
return 0;
}
輸出
No graph homomorphism exists.
結論
總之，圖同態是圖論和計算數學中的一個重要概念。在C語言中實現它允許分析不同圖之間的基本相似性和關係。我們探討了兩種尋找圖同態的方法：回溯法和約束滿足問題 (CSP)。這些演算法能夠識別保持頂點之間鄰接關係的對映。對於實際應用，進一步的最佳化或替代演算法值得考慮。
更新於：2023年8月25日
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