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法律研究直流電動機的效率 - 最大效率的條件
直流電動機的效率
直流電動機的效率定義為輸出功率與輸入功率之比。
數學上，
$$\mathrm{效率,\eta \:=\:\frac{輸出功率}{輸入功率}\times 100 \%\:=\:\frac{P_{out}}{P_{in}}\times100\%\:...(1)}$$
由於，
$$\mathrm{輸入功率,\:P_{in} = 輸出功率(P_{out}) + 損耗}$$
因此，
$$\mathrm{效率,\eta \:=\:\frac{P_{out}}{P_{out}\:+\:損耗}\times100\%\:....(2)}$$
直流電動機最大效率的條件
直流電動機的效率不是恆定的，而是隨負載變化。考慮一個並勵電動機（如圖所示），其電樞電流為 Ia 安培，反電動勢為 Eb。
電動機產生的機械功率（忽略機械損耗）為：
$$\mathrm{P_{m}=P_{out}=E_{b}I_{a}}$$
電動機的輸入功率為：
$$\mathrm{P_{in}=P_{out}\:+\:可變損耗\:+\:恆定損耗}$$
$$\mathrm{效率,\eta\:=\:\frac{P_{out}}{P_{in}}\:=\:\frac{E_{b}I_{a}}{P_{out}\: +\:可變損耗\:+\:恆定損耗}}$$
$$\mathrm{⇒\eta\:=\:\frac{E_{b}I_{a}}{E_{b}I_{a}\:+\:I_a^2R_{a}\:+\:W_{c}}}$$
$$\mathrm{⇒\eta\:=\:\frac{1}{1+(\frac{I_{a}R_{a}}{E_{b}})+\frac{W_{c}}{E_{b}I_{a}}}\:....(3)}$$
如果公式 (3) 的分母最小，則電動機的效率將最大。因此，為了確定最大效率的條件，需要對公式 (3) 的分母相對於電樞電流進行微分，並將其等於零，即
$$\mathrm{\frac{d}{dt}[1+(\frac{I_{a}R_{a}}{E_{b}})+(\frac{W_{c}}{cd})]\:=\:0}$$
$$\mathrm{⇒\:(\frac{R_{a}}{E_{b}})\:-\:(\frac{W_{c}}{E_{b}I_a^2})\:=\:0}$$
$$\mathrm{⇒\:\frac{R_{a}}{E_{b}}\:=\:\frac{W_{c}}{E_{b}I_a^2}}$$
$$\mathrm{⇒\:I_a^2R_{a}\:=\:W_{c}}$$
$$\mathrm{⇒\:可變損耗\:=\:恆定損耗 … (4)}$$
因此，當電動機的可變損耗等於恆定損耗時，直流電動機的效率最高。
對應於最大效率的電樞電流由下式給出：
$$\mathrm{I_{a}=\sqrt\frac{W_{c}}{R_{a}}\:\:......(5)}$$
數值示例
一臺 10 kW 的直流並勵電動機在滿載時的損耗如下：
機械損耗 = 300 W
鐵損 = 400 W
勵磁繞組銅損 = 100 W
電樞銅損 = 500 W
如果電樞電阻為 0.25 Ω，計算電動機的滿載效率和對應於最大效率的電樞電流。
解答
這裡，
$$\mathrm{恆定損耗,\:W_{c}\:=\:300 + 400 + 100\:=\:800 W}$$
$$\mathrm{可變損耗\:=\:電樞銅損\:=\:500 W}$$
$$\mathrm{總損耗\:=\:800 + 500\:=\:1300 W}$$
因此，
$$\mathrm{輸入功率,P_{in} = 10000 + 1300 = 11300 W}$$
$$\mathrm{\therefore \:效率,\eta \:=\:\frac{P_{out}}{P_{in}}\times100\:=\:\frac{10000}{11300}\times 100 \:}$$
$$\mathrm{⇒\:\eta\:=\:88.49\%}$$
對應於最大效率的電樞電流，
$$\mathrm{I_{a}\:=\:\sqrt\frac{W_{c}}{R_{a}}\:=\:\sqrt\frac{800}{0.25}\:=\:56.57A}$$
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