偶極子均勻磁場

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引言

當磁鐵置於磁場中時，會受到力的作用。磁場是一個用來描述對磁性材料影響的物理場。磁場的均勻性對其附近的偶極子有特殊的影響。學習作用在偶極子上的力和力矩的性質，並進一步理解其背後的原因非常重要。另一個有趣的方面是，磁偶極子在磁場中的類似關係與電偶極子在電場中的關係也將會推導和探討。

什麼是均勻磁場？

這是一個向量場，它解釋了磁性影響和力對任何型別的磁性材料或其附近的運動電荷的影響。磁場可以透過磁鐵、運動電荷或電流產生。由於它是向量，所以需要大小和方向來完整描述它。我們經常使用“場線”圖來了解空間中產生的場。條形磁鐵的磁場線表示如圖所示。較近的場線表示該區域較高的強度。箭頭表示磁場的方向。

均勻磁場僅僅意味著場的大小和方向在我們考慮的整個區域內都是相同的。大小或方向不會隨著空間座標的變化而變化。均勻磁場在任何特定區域的場線密度將告訴我們磁場的大小。

什麼是偶極子？

一般來說，偶極子是兩個大小相等、極性相反的帶電或磁化極點以一定距離排列。帶電荷的排列稱為電偶極子，而帶有南北極的排列稱為磁偶極子。

偶極矩是一個物理向量量，可以用它輕鬆地表徵任何型別的偶極子——無論是磁偶極子還是電偶極子。對於電偶極子，偶極矩只是電荷大小與其之間距離的乘積。而磁偶極子是產生磁場的任何物體的強度和方向的表示。簡單的條形磁鐵是具有永久磁矩的磁偶極子的例子。甚至原子中帶正電的原子核的自旋、帶負電的電子繞原子核的旋轉等等，也是構成磁偶極矩的例子。

偶極子在均勻磁場中的行為

當我們將北極帶入磁場時（儘管我們不能帶入孤立的磁極），它會受到一個力，該力等於磁強度和磁場值的乘積。數學上可以表示為：

$$\mathrm{F= m\times B}$$

這裡m是磁極強度，B是磁場的大小。而南極則受到大小相等、方向相反的力。因此，偶極子沒有受到淨力。但是，需要注意的重要一點是，這兩個力作用在相距一定距離（例如“2l”）的地方。（“2l”表示兩個磁極之間的距離，我們可以說這是放在均勻磁場B中的小條形磁鐵的長度）這導致偶極子產生淨力矩。數學上，它由下式給出：

$$\mathrm{\tau = 力\times 距離}$$

$$\mathrm{\tau_{B} = mB\:sin\theta \times 2l}$$

將2ml作為磁矩向量“M”，我們得到力矩公式為

$$\mathrm{\tau_{B} = M\times B}$$

此外，在計算系統的勢能時，

$$\mathrm{U_{B} = \int \tau _{B}(\theta )d\theta }$$

$$\mathrm{U_{B} = \int MB\:sin \theta \:d\theta }$$

$$\mathrm{U_{B} = - MB\:cos \theta }$$

$$\mathrm{U_{B} = - M.B}$$

與靜電學的關聯

可以將磁靜力學中偶極子在均勻磁場中的力和力矩以及其他行為效應與靜電學中的進行比較。正如我們已經推匯出均勻磁場中磁偶極子的力矩公式一樣，均勻電場中電偶極子的力矩公式也是如此。矩m類似於p。磁極強度m類似於電荷q。此外，我們用電場E代替磁場B。

數學上，它由下式給出

$$\mathrm{\tau _{E}=力\times 距離}$$

$$\mathrm{\tau _{E}=q\:E\:sin\theta \times 2l}$$

將2ql作為磁矩向量“p”，我們得到力矩公式為

$$\mathrm{\tau _{E}=p\times E}$$

此外，在計算系統的勢能時，

$$\mathrm{U _{E}=\int T_{E}(\theta )d\theta }$$

$$\mathrm{U _{E}=\int pE\:sin\theta \:d\theta }$$

$$\mathrm{U _{E}=-ME\:cos\theta}$$

$$\mathrm{U _{E}=-M.E}$$

因此，我們看到當分別置於均勻電場和磁場中時，電偶極子和磁偶極子之間存在明顯的相似性。負號為我們提供了這樣一個約定：對抗電場（或磁場）所做的功增加了系統的勢能。

結論

電偶極子和磁偶極子都簡單來說是大小相等、極性相反的極點以一定距離排列。當放在均勻磁場中時，儘管沒有受到任何淨力，但它們會經歷一些力矩。對於均勻磁場中磁偶極子的力矩和勢能的表示式，與均勻電場中電偶極子的表示式非常類似。這為我們打開了學習磁靜力學和靜電學之間這種類似關係的許多其他有趣方面的大門。

常見問題

Q1. 均勻磁場線的性質是什麼？

A1. 均勻磁場線是等距平行線。

Q2. 洛倫茲力是什麼意思？

A2. 當電荷q以速度v進入具有電場E和磁場B的區域時，其上的淨力F。數學上由下式給出

$$\mathrm{F=q[E+(v\times B)]}$$

Q3. 磁矩是標量還是向量？

A3. 磁矩是向量。其方向指向磁性材料的南極到北極。

對於載流環路，根據右手定則，其方向平行於平面——手指沿電流方向彎曲。

Q4. H和B有什麼區別？

A4. H是磁場強度，單位為A/m。而磁通密度B的單位為特斯拉。

Q5. 從均勻場區域無偏轉透過的電子上的電力與磁力的比例是多少？

A5. 由於電子在該區域內未發生偏轉，因此作用在其上的電力和磁力的值相等且方向相反。因此，這兩個力的比率為1。