電偶極子的電勢

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介紹

當我們研究一個電荷或一個電荷系統時，我們看到每個電荷都具有確定的電場量，根據其性質，該電場對其他電荷和帶電粒子施加靜電排斥力或吸引力。電效應可以透過單位電荷（也稱為檢驗電荷）來體驗。電荷或電荷系統周圍的電場可以用兩種形式描述：電場和電勢。

什麼是偶極子和電荷系統的電勢？

偶極子的電勢是由偶極子產生的靜電勢。首先，我們應該弄清楚什麼是電勢？簡單來說，我們可以說，電場中某點的電勢是在電場作用下，將大小為一庫侖的點正電荷從無限遠處移動到該點的功。因此，電勢可以表示為作用在單位電荷上的功。

電勢的標準測量單位是伏特。因此，一伏特的電勢點是指在電場力的作用下，將單位正電荷從無限遠處移動到目標點所做的功為一焦耳。

$$\mathrm{V=\frac{W}{q}}$$

電偶極子是由兩個大小相等、性質相反的電荷組成的系統，它們透過一條穿過其中心的線連線起來。穿過其中心的線的長度稱為偶極子長度。

為了測量電偶極子的強度，我們使用偶極矩這一術語。偶極矩可以定義為一個向量，其大小等於電荷的乘積和它們之間的總距離，向量的方向沿軸線從負極指向正極。它用 p 表示。

偶極矩的 SI 單位是 **庫侖米**。

另一方面，如果我們使用一個包含兩個以上電荷的電荷系統，則電勢稱為由電荷系統產生的電勢。

推導由電偶極子在某點產生的電勢的表示式

由電偶極子在任何點（例如 P 點）產生的電勢可以針對兩點表示：軸向點和赤道點。

• 偶極子在軸向點產生的電勢

圖片即將推出

在上圖中，有一個偶極子，其具有成對的電荷；A 點為正電荷，B 點為負電荷，它們之間相隔一定的距離，用 d 表示，等於 2a。存在一個位於偶極子軸線上且距偶極子中心 r 距離的 P 點。

現在，由這兩個電荷在 P 點產生的電勢為

$$\mathrm{V=V_{1}+V_{2}}$$

$$\mathrm{V_{1}=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{-q}{AP}}$$

現在，

$$\mathrm{V_{2}=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{+q}{BP}}$$

P 點的總電勢，$\mathrm{V=V_{1}+V_{2}}$

所以，

$$\mathrm{V=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{-q}{AP}+\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{+q}{BP}}$$

我們知道 $\mathrm{AP=r+\frac{d}{2}}$ 和 $\mathrm{BP=r-\frac{d}{2}}$，而 $\mathrm{\frac{d}{2}=a}$。

$$\mathrm{Thus,V=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{-q}{r+a}+\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{+q}{r-a}}$$

$$\mathrm{V=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}}.\left\{\frac{1}{r-a}-\frac{1}{r+a} \right\}}$$

$$\mathrm{V=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}}.\left\{\frac{(r+a)-(r-a)}{r^{2}-a^{2}} \right\}}$$

$$\mathrm{V=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}}.\left\{\frac{q\times 2a}{r^{2}-a^{2}} \right\}}$$

然而，$\mathrm{p=q\times 2a}$

因此，$\mathrm{V=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}}.\left\{\frac{p}{r^{2}-a^{2}} \right\}}$

如果偶極子非常小，則 $\mathrm{a^{2}<<r^{2}}$

所以，

$$\mathrm{V=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{p}{r^{2}}}$$

• 偶極子赤道點的電勢

圖片即將推出

設一個偶極子由一對性質相反、大小相等的電荷組成，分別為 -q 和 +q，兩電荷相距 2l。存在一個隨機點 P，該點位於偶極子的垂直平分線上，並且距偶極子中心的距離為 r。

現在，P 點到 -q 和 +q 的距離相同，均為 $\mathrm{\sqrt{r^{2}+l^{2}}}$

根據在 P 點由兩個電荷產生的電勢的公式，

$$\mathrm{V=V_{1}+V_{2}}$$

$$\mathrm{V=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{-q}{AP}+\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{+q}{BP}}$$

這裡，AP 和 BP 相同。

$$\mathrm{So,V=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{-q}{\sqrt{r^{2}+l^{2}}}+\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{+q}{\sqrt{r^{2}+l^{2}}}}$$

$$\mathrm{Thus,-\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{q}{\sqrt{r^{2}+l^{2}}}+\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{q}{\sqrt{r^{2}+l^{2}}}=0}$$

$$\mathrm{V=0}$$

因此，從上述表示式中可以看出，電偶極子赤道點的電勢為零。

結論

偶極子在與偶極子共線的點產生的電勢為 $\mathrm{V=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}}.\left\{\frac{p}{r^{2}-a^{2}} \right\}}$，而電偶極子赤道點的電勢為零。

常見問題

Q1. 為什麼偶極子赤道點的電勢為零？

A1. 是的，偶極子的赤道點確實具有零電勢，因為該點位於兩個大小相等、性質相反的電荷之間。因此，兩個電荷相互抵消，結果為零。

Q2. 什麼是電場？

A2. 電場是帶電體或粒子周圍的一個區域，當我們將檢驗電荷帶到該區域時，我們可以感受到吸引力或排斥力。該場與電荷的大小成正比，如果物體的電荷量大，則場將大而強，反之亦然。

Q3. 電場的強度是多少？

A3. 我們可以將電場強度定義為電場中電荷在特定點施加的力。如果存在電荷系統，則強度將是所有電荷施加力的總和。

Q4. 電場與電勢之間有什麼關係？

A4. 電場和電勢之間存在直接關係，如下所示：

$$\mathrm{E=-\frac{dV}{dr}}$$

Q5. 在電勢保持恆定的點，電場的數值是多少？

A5. 根據關係式 $\mathrm{E=-\frac{dV}{dr}}$，我們可以得到電勢對距離的導數也與電場有關。

因此，如果電勢在任何點保持恆定，則該點的電場將為零。

Q6. 電偶極矩的方向、SI 單位和量綱公式是什麼？

A6. 偶極矩是向量量，沿偶極子的軸線從負極指向正極。此外，庫侖米是 SI 單位，量綱公式為 $\mathrm{M^{0}L^{1}T^{1}I^{1}}$

Q7. 電荷的量子化是什麼意思？

A7. 量子代表任何物體的最小量。這裡，電荷的量子化意味著物體的電荷總是其基本量子的整數倍。

$$\mathrm{q=ne}$$