尺寸分析

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前言

簡單來說，維度就是用數學的方法來研究任何物件的性質。為了檢視一個人的身高，或者確定一個圓有多大，我們一直在使用維度和大小來對我們周圍的物體進行量化。維度分析僅指不同物理量與測量單位之間的關係。在本文中，我們將討論它的確切含義、它的出處以及我們在當下可以看到的各種應用。

什麼是維度分析？

維度分析是一種分析，用於瞭解不同物理量與基礎量之間的關係。國際量綱體系給出的基礎量為：長度、質量、時間、電流、物質的量和光度。

執行維度分析的基本方法要求我們用這 6 個單位表示任何可測量量的引數。例如，力可以用質量（千克）乘以加速度來表示，SI 單位稱為牛頓。但是，公式中的加速度可以分解為長度乘以時間平方($\mathrm{ms^{-2}}$)。

因此，這給了我們最終用基礎單位表示的所有力單位（$\mathrm{kg.m.s^{-2}}$），即質量、長度和時間。這個例子使我們對維度分析有了大致的瞭解。它可以用方括號及 M、L 和 T 表示為 −

$$\mathrm{F=[MLT^{-2}]}$$

同質性原理

同質性原理是維度分析最基本的法則。為了理解這一原理，我們來看一下以下術語及其含義 −

可公度的量：具有相同量綱的物理量 不可公度的量：具有不同量綱的物理量 齊次性原理表明，無論哪兩個或更多個不可公度的量均不能相加、相等、相減，甚至無法進行比較。

有一個解釋該原理的著名的類比片語——“蘋果與桔子”。它通常用來闡述兩個物件之間的差異，以及它們為何無法在物理上進行比較

此原理含義為，對於一條表示式或一個方程式來說，只有對可公度的量進行相加、相減和比較才有物理意義。不能將蘋果的質量與香蕉的長度相加。但可以將蘋果的質量與香蕉的質量相加（這一操作可以安全地為我們提供總質量）。與之相反，蘋果的質量除以香蕉的長度是完全可以接受的。用非常簡單的語言來說，方程式兩邊單位應當具有相同的單位/量綱。

量綱分析的應用

量綱分析被廣泛用於解決和分析涉及量的實際生活問題。量綱分析的主要應用如下

• 可以用它檢查任何公式或方程的正確性。由於齊次性原理要求方程兩邊單位相同，因此它是檢查任何複雜方程是否有效的極好方法。

• 可以用它找出任何未知物理常數的單位：同樣，在驗證齊次性原理並瞭解它時，我們可以在方程中找出未知量。

• 它用於找到其他單位制中一些物理量的單位。

• 它還可以用來推導各種複雜量的公式和新關係。

求解示例

Q1. 使用量綱分析，檢查公式$\mathrm{F=\frac{mv^{2}}{r^{2}}}$是否正確？

答。力的量綱公式為$\mathrm{MLT^{-2}}$

$$\mathrm{[MLT^{-2}]=\frac{[M][LT^{-1}]^{2}}{[L]^{2}}}$$

$$\mathrm{=[ML^{2-2}T^{-2}]}$$

$$\mathrm{=[MT^{-2}]}$$

RHS$\mathrm{
eq}$LHS，即公式兩邊的量綱不相等。因此，根據齊次性原理，該公式不正確。

Q2. 找出能量的量綱？

答。能量定義為做功的能力。為了方便，我們考慮勢能，其公式為$\mathrm{m\times g\times h}$，其中‘m’是質量，‘g’是重力加速度，h是高度。

因此，

$$\mathrm{E=[M][LT^{-2}][L]}$$

$$\mathrm{E=[ML^{2}T^{-2}]}$$

Q3. 檢查運動方程的正確性：v=u+at，其中所有變數均具有其常規意義。

答。已知$\mathrm{v=u+at}$

RHS: $\mathrm{v=[LT^{-1}]}$

LHS: $\mathrm{u+at=[LT^{-1}]+[LT^{-2}][T]}$

$$\mathrm{[LT^{-1}]=[LT^{-1}]+[LT^{-2+1}]}$$

$$\mathrm{=[LT^{-1}]=[LT^{-1}]+[LT^{-1}]}$$

在 LHS 中，我們看到兩個具有相同量綱的量正在相加，這是可以接受的，因為它們相加後將生成一個具有相同量綱的量。此外，它與 RHS 的量綱相匹配。因此，該方程有效且正確。

Q4. 在一些理論中，時間週期 T 被視為依賴於壓力 P、密度 $\mathrm{\rho }$和能量 E。利用量綱分析，推匯出表示 T、P、E 和 $\mathrm{\rho }$之間關係的公式。

答。根據問題，我們有

$$\mathrm{T=CP^{a}\rho ^{b}E^{c}}$$

其中 C 是無量綱常數

將量綱代入此方程，

$$\mathrm{[T]=C[ML^{-1}T^{-2}]^{a}[ML^{-3}]^{b}[ML^{2}T^{-2}]^{c}}$$

$$\mathrm{[T]=C[M^{+b+c}L^{-a-3b+2c}T^{-2a-2c}]}$$

現在，比較兩邊基本單位的次冪

$$\mathrm{0=a+b+c}$$

$$\mathrm{1=-2a-2c}$$

$$\mathrm{0=-a-3b+2c}$$

求解以上線性方程，我們得到

$$\mathrm{a=-\frac{5}{6};b=1;c=\frac{1}{3}}$$

即，公式變為 $\mathrm{T=C\frac{\rho ^{1/2} E^{1/3}}{P^{5/6}}}$, 其中 C 是無量綱常數。

侷限性

雖然量綱分析在許多領域極大地有助於將困難的技術問題簡化成可控問題，但這種分析方法仍然有一些侷限性，可列舉如下

• 它無法提供有關物理常數值的資訊。

• 在使用量綱分析推導方程時，該方法無法提供有關涉及三角、對數和指數項的表示式的思路。

• 量綱分析無法告訴我們物理量是標量還是向量。

• 它不能用於推導包含取決於三個以上物理量的表示式。

結論

量綱分析有助於確定不同物理量單位與基本量之間的關係。它可用於檢查物理公式和方程式：任何方程式的兩邊必須具有相同的量綱。此外，它還可以作為更輕鬆推導物理系統方程的絕佳指南，而不是使用任何嚴格推導方式。

常見問題解答

問 1. 無量綱量是什麼意思？給幾個例子。

答：沒有物理量綱，且相應國際單位制單位為 1 的量被稱為無量綱量。例如：折射率、雷諾數、相對磁導率。

問 2. 量綱常數是什麼意思？給幾個例子。

答：具有固定量綱且具有固定值的不變數被稱為量綱常數。它們也具有一些相應的國際單位制單位。例如：普朗克常數和引力常數。

問 3. 量綱分析的另一個名稱是什麼？

答：量綱分析也稱為單位因子法或因子標籤法。

問 4. 找到熵的量綱公式？

答：熵由如下公式給出

$$\mathrm{\Delta S=\frac{\Delta Q}{T}}$$

其中，熱量 Q 具有熱能的量綱，表示為 $\mathrm{\left [ ML^{2}T^{-2} \right ]}$。因此，熵的量綱公式由如下公式給出

$$\mathrm{S=\frac{\left [ ML^{2}T^{-2} \right ]}{K}=[ML^{2}T^{-2}K^{-1}]}$$

問 5. 齊次性原理允許用不同量綱的兩個物理量進行除法和乘法運算嗎？為什麼？

答：是的。兩個不相稱量的乘法和求商都被允許。它將為我們提供另一個與方程式的右側相匹配的單位，從而滿足該關係。