條件機率

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介紹

條件機率是指在已知一個事件發生的情況下，另一個事件發生的可能性。在本教程中，我們將學習機率、相關事件和獨立事件、條件機率和條件機率定理。我們還將學習機率中的乘法規則以及全機率和貝葉斯定理。

在另一個事件已經發生的情況下，一個事件發生的機率被稱為條件機率。對於條件機率，事件必須是相關的。相關事件是指一個事件的發生會改變另一個事件發生機率的事件。

條件機率

在另一個事件已經發生的情況下，一個事件發生的機率被稱為給定第二個事件的第一個事件的條件機率。它用‘|’表示。

例如，設A和B是擲骰子兩次的和為12以及第一次擲出6的事件。

現在，我們知道擲骰子出現6的機率是六分之一。

即，$\mathrm{P(B)\:=\:\frac{1}{6}}$

兩次擲骰子之和為12的機率是三十分之一。

即，$\mathrm{P(A)\:=\:\frac{1}{36}}$

但是，如果第一次擲骰子已經得到6，那麼為了使兩次之和為12，第二次擲骰子只需要得到6，即給定B的A的機率是六分之一。

即，$\mathrm{P(A/B)\:=\:\frac{1}{6}}$

條件機率的計算公式如下：

$$\mathrm{P(A/B)\:=\:\frac{P(A\cap\:B)}{P(B)}}$$

在這個例子中，事件A和B相互依賴。這類事件稱為相關事件。

相關事件是指一個事件的發生會影響另一個事件發生機率的事件。

條件機率定理和性質。

性質1 - 設E是實驗樣本空間S中的一個事件，則我們有：

$\mathrm{P(S|E)\:=\:P(E|E)\:=\:1}$$

證明/解釋 - 給定E已經發生的情況下，E發生的機率顯然是1。

現在對於另一部分，E是樣本空間S中的一個事件，在集合表示法中，這表示為𝐸 ⊆ 𝑆（E是S的子集）。如果E發生，這意味著樣本空間S的一部分已經發生，這意味著S作為一個事件已經發生。因此，給定E的情況下，S的機率也是1。

性質2 - 如果A和B是樣本空間S中的任意兩個事件，F是S中的一個事件，且P(F) ≠ 0，則：

$\mathrm{P((A\cup\:B)|F)\:=\:P(A|F)\:+\:P(B|F)\:-\:P((A\cap\:B)|F)}$

證明/解釋 -

我們知道，

$$\mathrm{P(A\cup\:B)\:=\:P(A)\:+\:P(B)\:-\:P(A\cap\:B)}$$

同時，$\mathrm{P(A|F)\:=\:\frac{P(A\cap\:F)}{P(F)}}$

根據分配律，我們可以在兩邊進行以下運算。

$\mathrm{P(A\cup\:B)\:P(A)\:+\:P(B)\:-\:P(A\cap\:B)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:...\:\:\:\:\:\:\:\:\:\cap\:F\:on\:both\:sides}$

$\mathrm{P((A\cup\:B)\cup\:F)\:=\:P(A\cap\:F)\:+\:P(B\cap\:F)\:-\:P((A\cap\:B)\cap\:F)}$

同時，由於$\mathrm{P(F)\:\neq\:0}$，將等式兩邊除以P(F)

$\mathrm{P((A\cup\:B)\cap\:F)/P(F)\:=\:P(A\cap\:F)/P(F)\:+\:P(B\cap\:F)/P(F)\:-\:P((A\cap\:B)\cap\:F)/P(F)}$

$\mathrm{\Longrightarrow\:P((A\:\cup\:B)|F)\:=\:P(A|F)\:+\:P(B|F)\:-\:P((A\cap\:B)|F)}$

性質3 - $\mathrm{P(A'|B)\:=\:1\:-\:P(A|B)}$

證明/解釋 -

我們知道

$\mathrm{P(A')\:=\:1\:-\:P(A)}$

我們也知道

$\mathrm{P(S)\:=\:1}$

因此我們可以將等式改寫為

$\mathrm{P(A')\:=\:P(S)\:-P(A)}$

類似於最後一個性質，我們可以使用交集的分配律，

$\mathrm{P(A'\cap\:B)\:=\:P(S\cap\:B)\:-\:P(A\cap\:B)}$

除以P(B)，

$\mathrm{P(A'\cap\:B)/P(B)\:=\:P(s\cap\:B)/P(B)\:-\:P(A\cap\:B)/P(B)}$

$\mathrm{P(A'|B)\:=\:P(S|B)\:-\:P(A|B)}$

使用性質1，$\mathrm{P(S|B)\:=\:1}$

$\mathrm{P(A'|B)\:=\:1\:-\:P(A|B)}$

機率中的乘法規則

機率中的乘法規則有兩種形式，一種用於相關事件，另一種用於獨立事件。

相關事件的乘法規則

給定B的A的條件機率由下式給出：

$$\mathrm{P(A|B)\:=\:\frac{P(A\cap\:B)}{P(B)}}$$

重新排列項，我們有：

$$\mathrm{P(A\cap\:B)\:P(B)\times\:P(A|B)}$$

同樣地

$$\mathrm{P(A\cap\:B)\:=\:P(A)\times\:P(B|A)}$$

獨立事件的乘法規則

給定B的A的條件機率由下式給出：

$$\mathrm{P(A|B)\:=\:P(B)\:P(B)\times\:P(A|B)}$$

但我們知道，獨立事件不會影響彼此的發生

$$\mathrm{\Longrightarrow\:P(A|B)\:=\:P(A)\:and\:P(B|A)\:=\:P(B)}$$

用P(A)替換P(A|B)

$$\mathrm{\Longrightarrow\:P(A\cap\:B)\:=\:P(B)\times\:P(A)}$$

全機率和貝葉斯定理

全機率定理

全機率定理指出，如果A是樣本空間S中的一個事件，可以將其劃分為n個獨立事件，例如𝐸1, 𝐸2, … , 𝐸𝑛，所有這些事件都與A相互依賴，則A的機率由下式給出：

$$\mathrm{P(A)\:=\:P(A|E_{1}).P(E_{1})\:+\:P(A|E_{2}).P(E_{2})\:+\:.......\:+\:P(A|E_{n}).P(E_{n})}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:P(A)\:=\:\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n P(A|E_{i}).P(E_{i})}$$

證明 -

事件A的機率，根據它與事件$\mathrm{E_{i},i\:=\:1,2,3,...,n}$的交集表示為：

$$\mathrm{P(A)\:=\:P(A\cap\:E_{1})\:+\:P(A\cap\:E_{2})\:+\:.....\:+\:P(A\cap\:E_{i})}$$

使用相關事件的機率乘法規則，我們有：

$$\mathrm{P(A\cap\:E_{i})\:=\:P(A|E_{i}).P(E_{i}),\forall\:i\:=\:1,2,3,.......,n}$$

將其代入上一個等式，我們有：

$$\mathrm{P(A)\:=\:P(A|E_{1}).P(E_{1})\:+\:P(A|E_{2}).P(E_{2})\:+\:.......\:+\:P(A|E_{n}).P(E_{n})}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:P(A)\:\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n P(A|E_{i}).P(E_{i})}$$

貝葉斯定理

貝葉斯定理將給定第二個事件的第一個事件的機率與給定第一個事件的第二個事件的機率聯絡起來。如果A是樣本空間S中的一個事件，可以將其劃分為n個獨立事件，例如𝐸1, 𝐸2, … , 𝐸𝑛，所有這些事件都與A相互依賴，則給定A的情況下，任何𝐸𝑖的機率（給定$\mathrm{E_{i},\forall\:i\:=\:1,2,3,.....,n.}$的情況下A的機率）由下式給出：

$$\mathrm{P(E_{i}|A)\:=\:\frac{P(A|E_{i}).P(E_{i})}{P(A|E_{1}).P(E_{1})\:+\:P(A|E_{2}).P(E_{2})\:+\:.......\:+\:P(A|E_{n}).P(E_{n})}}$$

證明 -

我們根據條件機率公式知道，

$$\mathrm{P(E_{i}|A)=\:\frac{P(E_{i}\cap\:A)}{P(A)}\:=\:\frac{P(A\cap\:E_{i})}{P(A)}}$$

同樣，根據相關事件的乘法規則，

$$\mathrm{P(A\cap\:E_{i})\:=\:P(A|E_{i}).P(E_{i})}$$

根據全機率定理

$$\mathrm{P(A)\:=\:P(A|E_{i}).P(E_{i})\:+\:P(A|E_{2}).P(E_{2})\:+\:.......\:+\:P(A|E_{n}).P(E_{n})}$$

將這些代入等式，我們有：

$$\mathrm{P(E_{i}|A)\:=\:\frac{P(A|E_{i}).P(E_{i})}{P(A|E_{1}).P(E_{1})\:+\:P(A|E_{2}).P(E_{2})\:+\:.......\:+\:P(A|E_{n}).P(E_{n})}}$$

已解決的例子

1) 假設有兩個相同的袋子B1和B2，兩個袋子都包含一些藍色和一些紅色的球（B1（6個藍色，4個紅色），B2（5個藍色，5個紅色））。如果隨機選擇一個袋子並從袋子中取出一個球，結果是藍色的，那麼選擇的袋子是B2的機率是多少？

答案 - 設B1和B2分別是選擇袋子B1和B2的事件

並設A是從所選袋子中抽出的球是藍色的事件

然後，$\mathrm{P(B_{1})\:=\:P(B_{2})\:=\:0.5}$

$\mathrm{P(A|B_{1})\:=\:0.6,P(A|B_{2})\:=\:0.5}$

然後根據貝葉斯定理

$$\mathrm{P(B_{2}|A)\:=\:\frac{P(A|B_{2}).P(B_{2})}{P(A|B_{1}).P(B_{1})\:+\:P(A|B_{2}).P(B_{2})}\:=\:\frac{0.5\times\:0.5}{(0.6\times\:0.5)\:+\:(0.5\times\:0.5)}}$$

$$\mathrm{P(B_{2}|A)\:=\:\frac{0.25}{0.3\:0.25}\:=\:\frac{0.25}{0.55}\:=\:\frac{22}{55}}$$

$$\mathrm{P(B_{2}|A)\:=\:\frac{5}{11}\:=\:0.4545....}$$

結論

在本教程中，我們將學習機率、相關事件和獨立事件、條件機率和條件機率定理。我們還將學習機率中的乘法規則以及全機率和貝葉斯定理。

常見問題

1. 機率是什麼意思？

機率是對一個明確定義的事件發生的機率的數學表示。

2. 樣本空間是什麼？

樣本空間定義為實驗所有可能結果的集合。

3. 定義條件機率？

在另一個事件已經發生的情況下，一個事件發生的機率被稱為條件機率。

4. 機率中的乘法規則是什麼？

它指出，兩個獨立事件同時發生的機率是這些事件分別發生的機率的乘積。