使用NumPy透過奇異值分解計算給定陣列的因子

---

奇異值分解 (SVD) 是一種矩陣分解技術，它將矩陣分解為三個部分：左奇異矩陣、對角奇異矩陣和右奇異矩陣。

SVD 是線性代數中一個強大的工具，在資料分析、機器學習和訊號處理中有很多應用。它主要用於計算矩陣的秩，以及執行線性方程組求解、影像壓縮等等操作。

計算奇異值分解

如果我們組成一個大小為 m x n 的實數或複數矩陣 A，則奇異值分解計算以下分解。

A = U * S * V ^T

其中

• U 是大小為 m x m 的正交矩陣，包含 A 的左奇異向量。

• S 是大小為 m x n 的對角矩陣，包含 A 的奇異值。

• V^T 是大小為 n x n 的正交矩陣，包含 A 的右奇異向量。

奇異向量 U 和 V^T 是正交的，即它們具有單位長度並且彼此垂直。奇異值按降序排列在 S（對角矩陣）的對角線上。

NumPy 中的奇異值分解

Python 中的 NumPy 庫提供了 linalg 模組。該模組提供了許多函式，其中一個函式 SVD() 用於計算給定矩陣的奇異值分解。

語法

以下是用於計算給定矩陣的奇異值分解的語法。

import numpy as np
np.linalg.svd(matrix)

其中：

• numpy 是庫的名稱。

• np 是 numpy 的別名。

• linalg 是模組。

• svd 是用於計算奇異值分解的函式。

• matrix 是輸入矩陣。

示例

當我們想要計算奇異值分解 (SVD) 時，我們必須將矩陣作為輸入引數傳遞給 svd() 函式。

import numpy as np
matrix = np.arange(4,8).reshape(2,2)
singular_v_d = np.linalg.svd(matrix)
print("The singular value decomposition of the given 2x2 square matrix:",singular_v_d)

輸出

執行以上程式碼時，將顯示以下輸出，我們可以觀察到三個陣列，第一個陣列是左奇異陣列，第二個是對角奇異值，最後一個數組是右奇異矩陣。

The singular value decomposition of the given 2x2 square matrix: (array([[-0.57035846, -0.8213959 ],
   [-0.8213959 , 0.57035846]]), array([11.22355763, 0.17819662]), array([[-0.64238181, -0.76638477],
   [ 0.76638477, -0.64238181]]))

示例

讓我們看另一個使用 linalg 模組的 svd() 函式計算奇異值分解的示例。

import numpy as np
matrix = np.array([[1,23,4],[5,34,56]])
singular_v_d = np.linalg.svd(matrix)
print("The singular value decomposition of the given matrix:",singular_v_d)

輸出

The singular value decomposition of the given 2x2 square matrix: (array([[-0.24361576, 0.96987183],
   [-0.96987183, -0.24361576]]), array([67.60877519, 17.08957337]), array([[-0.07533009, -0.5706183 , -0.8177531 ],
   [-0.01452389, 0.82062411, -0.57128375],
   [-0.99705287, 0.0311579 , 0.07010528]]))

示例

讓我們看另一個使用 svd() 函式計算給定矩陣的奇異值分解的示例。

import numpy as np
matrix = np.array([[[12,34,23],[23,54,34]],[[10,23,24],[56,68,34]]])
singular_v_d = np.linalg.svd(matrix)
print("The singular value decomposition of the given matrix:",singular_v_d)

輸出

The singular value decomposition of the given matrix: (array([[[-0.53294435, -0.84615029],
        [-0.84615029,  0.53294435]],

       [[-0.32001136, -0.94741371],
        [-0.94741371,  0.32001136]]]), array([[80.14845114,  2.49515114],
       [99.54423363, 14.55834985]]), array([[[-0.32261121, -0.79617538, -0.5118855 ],
        [ 0.84320202,  0.0039616 , -0.53758224],
        [ 0.43003763, -0.60505294,  0.67005863]],

       [[-0.56512848, -0.7211306 , -0.40074987],
        [ 0.58018245, -0.00204301, -0.81448398],
        [ 0.58653059, -0.69279613,  0.41954188]]]))