自動機理論中的集合論

集合論的概念在離散數學和計算機科學中起著重要的作用。在自動機理論中，我們將集合視為定義機器、語言和關係的基本實體。

在本章中，我們將詳細解釋集合論的概念以及不同型別的集合和術語。

集合論基礎

集合只不過是一組物件的集合，其中元素或成員是用於構建它的物件。讓我們檢查一下它的一些特徵 -

• 集合是一組物件。這個集合本身可以被視為一個單一的實體。
• 集合包含不同的元素。例如，如果元素 a 屬於集合 S，則表示為 a ∈ S。
• 我們可以將集合視為一個明確定義的邊界。如果 S 是一個集合，a 是任何元素，那麼根據 a 的屬性，可以判斷 a ∈ S 或 a ∉ S。
• 集合可以透過其屬性來表徵。例如，如果 p 是 S 元素的定義屬性，則 S 表示為 S = {a : a 具有屬性 p}。

為了透過屬性清楚地理解集合，讓我們看一些例子 -

• 所有整數的集合表示為 S = {a: a 是整數}。這裡，7 ∈ S 但 \mathrm{\frac{1}{7} \: \isin S}。
• 所有奇數的集合表示為 S = {a: a 不能被 2 整除}。這裡，7 ∈ S 但 8 ∉ S。
• 小於 100 的所有素數的集合表示為 S = {a: a 是素數且小於 100}。這裡，23 ∈ S 但 98 ∉ S 和 101 ∉ S。

現在讓我們瞭解一些集合論的重要術語和概念。

集合的基數

集合的基數只不過是集合中存在的元素的數量。對於集合 S，基數表示為 |S| 或 n(S)。

例如，如果 S = {1, 2, 5, 6, 7, 9, 13} 是一個集合，則 |S| = n(S) = 7，因為集合 S 中存在 7 個元素。

子集

在集合論中，集合 S 的子集是指 S1 的每個元素都是 S 的元素。我們可以將子集用符號表示為 S1 ⊂ S。子集的反面是超集，因為 S 是 S1 的超集。

假設我們有一個包含所有整數的集合 Z，另一個集合 E 包含所有偶數自然數，那麼 E 可以表示為 E ⊂ Z。

讓我們再舉一個例子。有一個集合 S 包含可以被 6 整除的數字，T 是一個包含可以被 2 整除的數字的集合。那麼，根據如果一個數字可以被 6 整除，它必須可以被 2 和 3 整除的性質，S ⊂ T。

相等集合

如果兩個集合 "S" 和 "T" 具有相同數量的元素和相同的元素，則稱它們相等。元素在集合中的排列順序不會影響集合的相等性。

例如，考慮以下 -

• S = {10, 20, 30, 40, 50}
• T = {x : 10 到 50 之間所有 10 的整數倍}

"S" 和 "T" 是兩個相等的集合。

集合型別

下表突出顯示了一些更重要的集合型別及其示例 -

結論

在本章中，我們解釋了與集合相關的術語，如基數、集合型別、子集、超集、冪集等。這些是集合論的基礎，在離散數學和計算機科學中至關重要。