自動機中的字串基礎

自動機理論使用集合、語言、文法、正則表示式等多個概念。有限自動機和有限狀態機可以接受字母表、字串和子字串。正則表示式 的概念涵蓋字首和字尾。

學習形式語言和自動機理論的基礎知識需要一些與數學相關的基本術語。本章將介紹字串的概念及其在自動機理論中的應用。

自動機中字串的基本概念

字串是語言的基本組成部分，它由符號和字母組成。在自動機理論中，許多自動機用於根據輸入接受或生成字串。

字串的基本概念可以分為以下三個部分：

• 符號 - 符號是字串的基本構建塊。我們可以將其比作字母表中的字母。
• 字母表 (Σ) - 語言中所有可能的符號稱為字母表。在自動機中，我們也使用字母表，它只不過是用於建立字串的有限符號集。
• 字串 (w) - 最後，字母表集中存在的字母或符號的集合稱為字串。在自動機理論中，我們使用符號“w”來表示字串。字串的長度是有限的。

自動機理論中的字串屬性

在自動機理論中，它沒有像我們在日常生活中或不同的程式設計任務中使用的複雜字串屬性，例如操作或轉換。但是，它關注的是如何構建和識別這些字串。

讓我們考慮以下字串屬性：

• 字串長度 - 字串中存在的字母或有效符號（顯然它們存在於字母表中）的數量。
• 有限性 - 在自動機理論中，我們使用有限字串。在自動機理論中，我們不使用無限長的字串。
• 字串的順序 - 當我們在自動機中使用多個字串時，它們必須遵循順序，例如，如果w是一個字串，而w^T是它的反轉，要檢查以w開頭的迴文，我們必須遵循順序ww^T。
• 連線 - 我們可以透過連線操作將多個字串組合在一起，例如“ab”與“cd”連線將得到“abcd”。
• 空字串 (ε) - 空字串或 ε 的概念在自動機理論中是獨一無二的，它就像一個佔位符，什麼也不包含，甚至沒有一個符號。

字串元件

字串必須具有多個元件，或者我們可以將字串分解成多個部分。這些可以分類如下：

1. 字首

字首只不過是字串的起始部分。例如，如果“banana”是一個字串，那麼“ba”可以是它的一個字首。整個字串本身，即“banana”，也可以是它的字首。

注意 - 如果一個字串中有“n”個字元，那麼可能會有 2ⁿ 個字首，包括空字串。

2. 真字首

真字首類似於字首，但在這裡我們不考慮字串本身。如果“banana”是一個字串，那麼“banana”本身不會是真字首。因此，將有 (2^n-1) 個真字首。

3. 字尾

字尾是字串的結尾部分。例如，如果“automata”是一個字串，那麼它的字尾可以是“ta”，“ata”，“mata”。甚至整個單詞“automata”也可以是它自己的字尾之一。

注意 - 如果一個字串中有“n”個字元，那麼可能會有 2ⁿ 個字尾，包括空字串。

4. 真字尾

真字尾就像字尾，但在這裡我們不考慮字串本身。如果“automata”是一個字串，那麼“automata”本身不會是真字尾。因此，將有 (2^n-1) 個真字尾。

字串及其元件的應用

我們在自動機中確定給定字串是否屬於特定語言。字首有助於識別自動機中處理字串的合法起始點，允許它有效地遍歷字串並檢查它是否遵循定義的模式。

字尾在自動機中使用較少，但在某些結構中可能會有所幫助，例如字尾樹，它可以有效地搜尋大型字串集中的模式。

結論

在自動機理論中，字串是我們用來透過自動機設計系統的一個基本組成部分。在這裡，我們考慮語言、文法等概念，其中字串只不過是語言的實際示例或結果。

我們可以設計自動機來檢查字串是否存在於給定規則中。本章解釋了字串的基礎知識以及它們如何在自動機中使用，包括它們的字首和字尾等元件以及示例。