回答下列問題並說明理由
當一個 5 次多項式除以 \( x^{6}+2 x^{3}+x-1 \) 時，商可以是 \( x^{2}-1 \) 嗎？

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待辦事項

我們需要回答給定的問題並說明理由。

解決方案

(i) 令除數，一個 5 次多項式為 $ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f$

商 $= x^2 -1$

根據多項式除法演算法，

被除數 $=$ 除數 $\times$ 商 $+$ 餘數

$= (ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f)\times(x^2 -1) +$ 餘數

$=$ (一個 7 次多項式) $+$ 餘數

但給定的被除數是一個 6 次多項式。

這裡，除法演算法不滿足。

因此，當一個 5 次多項式除以 $x^{6}+2 x^{3}+x-1$ 時，商不能是 $x^2 -1$。

(ii) 這裡，

除數 $=px3 + qx2 + rx + s, p≠0$

被除數 $= ax^2 + bx + c$

我們觀察到，

除數的次數 $>$ 被除數的次數

我們知道，

如果被除數的次數小於除數的次數，則商為零，餘數與被除數相同。

因此，根據除法演算法，

商 $= 0$ 且餘數 $= ax^2 + bx + c$

(iii) 如果多項式 p(x) 除以多項式 g(x) 的商為零，則 p(x) 和 g(x) 的次數關係是 p(x) 的次數小於 g(x) 的次數。

例如，

$p(x)=10x$ 且 $g(x)=5x^2$

(iv) 如果非零多項式 p(x) 除以多項式 g(x) 的餘數為零，則 g(x) 是 p(x) 的因式，並且其次數小於或等於 p(x) 的次數。

例如，

$p(x)=10x^2$ 且 $g(x)=5x$ 則 $p(x) \div g(x)=10x^2 \div 5x=2x$

 $p(x)=10x^2$ 且 $g(x)=5x^2$ 則 $p(x) \div g(x)=10x^2 \div 5x^2=2$

(v) 令 $p(x) = x^2 + kx + k$

如果 $p(x)$ 有相等的根，則其判別式為零。

$D = b^2 -4ac = 0$                        這裡，

$a =1, b = k$ 且 $c = k$

因此，

$(k)^2-4(1)(k) = 0$

$k(k- 4)=0$

$k =0$ 或 $k=4$

這意味著，二次多項式 $p(x)$ 在 $k =0, 4$ 處有相等的根。

因此，二次多項式 \( x^{2}+k x+k \) 對於某些大於 1 的奇數 \( k \) 不能有相等的根。