代數 – 線性方程應用

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介紹

線性方程在數學中有著廣泛的應用。方程可以定義為等於常數或其他表示式的代數表示式。變數的最高指數冪等於一的方程稱為線性方程。數學表示式可以用來解決文字題。數學知識通常透過以表示式形式編碼的文字題來應用。在本教程中，我們將學習線性方程、線性方程的代數、線性方程的求解、一個方程一個變數、兩個方程兩個變數以及一些已解決的示例。

線性方程

一個或多個變數的冪等於 1 的方程。線性方程也稱為一元一次方程。

線性方程的代數

線性方程可以用不同的形式表示，例如：

• 標準形式。

• 斜截式。

• 點斜式。

線性方程的代數形式為$\mathrm{Ax\:+\:c\:=\:0\:或\:Ax\:+\:By\:+\:c\:=\:0}$。其中 x 和 y 是變數，A 和 B 分別是變數 x 和 y 的係數，c 是常數。

求解線性方程

方程有兩邊：左邊 (LHS) 和右邊 (RHS)。當從方程的兩邊加或減去一個數字或變數時，方程仍然成立。類似地，如果我們用相同的變數或數字乘或除方程的 LHS 和 RHS，方程仍然成立。可以求解線性方程以找到變數的值。

例如 − $\mathrm{5x\:-\:21\:=\:4}$

讓我們在方程的兩邊都加上 21

$$\mathrm{5x\:-\:21\:+\:21\:=\:4\:+\:21}$$

$$\mathrm{5x\:=\:25}$$

現在讓我們將方程的兩邊都除以 5，我們得到

$$\mathrm{\frac{5x}{5}\:=\:\frac{25}{5}}$$

$$\mathrm{x\:=\:5}$$

一個方程一個變數

只有一個變數的線性方程可以用標準形式表示為 $\mathrm{Ax\:+\:c\:=\:0}$，其中 x 是變數，A 是變數 x 的係數，c 是常數。

例如，$\mathrm{8a\:+\:30\:=\:11}$

兩個方程兩個變數

只有一個變數的線性方程可以用標準形式表示為

$$\mathrm{Ax\:+\:By\:+\:C\:=\:Px\:+\:Qy\:+\:R}$$

其中 x 和 y 是變數，A 和 B 分別是變數 x 和 y 的係數，c 是常數。例如

$$\mathrm{4x\:+\:7y\:+\:12\:=\:3x\:+\:4y\:+\:11}$$

已解決的示例

1)阿迪爾的年齡是迪維婭年齡的兩倍。10 年前，他的年齡是迪維婭年齡的三倍。他們現在的年齡是多少？

答案 - 讓我們假設阿迪爾的年齡為 x，迪維婭的年齡為 y，

我們知道阿迪爾的年齡是迪維婭的兩倍，那麼我們可以寫成

$$\mathrm{x\:=\:27\:\:\:\:\:\:\:Eq\:(1)}$$

10 年前，阿迪爾的年齡是迪維婭年齡的三倍，我們可以寫成

$$\mathrm{x\:-\:10\:=\:3(y\:-\:10)}$$

簡化後，我們得到

$$\mathrm{x\:-\:10\:=\:3y\:-\:30}$$

將變數和常數放在方程的兩邊。

$$\mathrm{x\:-\:3y\:=\:-30\:+\:10}$$

$$\mathrm{x\:-\:3y\:=\:-20}$$

將兩邊乘以 -1

$$\mathrm{3y\:-\:x\:=\:20\:\:\:\:\:\:Eqn\:(2)}$$

將 x 的值從方程 (1) 代入方程 (2)

$$\mathrm{3y\:-\:2y\:=\:20}$$

$$\mathrm{y\:=\:20}$$

因此，迪維婭的年齡是 20 歲。

將 y 的值代入方程 (1)。

$$\mathrm{x\:=\:2y}$$

$$\mathrm{x\:=\:40}$$

因此，阿迪爾的年齡是 40 歲。

2)兩個數字相加得到 50。這兩個數字之間的差是 10。用線性方程找出這兩個數字。

答案 -

設這兩個數字為 a 和 b。

那麼，我們有兩個方程

$$\mathrm{a\:+\:b\:=\:50\:\:\:\:\:\:Eqn\:(1)}$$

$$\mathrm{a\:-\:b\:=\:10\:\:\:\:\:\:Eqn\:(2)}$$

將兩個方程相加，我們得到

$$\mathrm{a\:+\:b\:+\:a\:-\:b\:=\:50\:+\:10}$$

$$\mathrm{2a\:=\:60}$$

$$\mathrm{a\:=\:30}$$

將 a 的值代入方程 (1)

$$\mathrm{30\:+\:b\:=\:50}$$

$$\mathrm{b\:=\:20}$$

3)一個袋子裝有 25 分和 50 分的硬幣，總價值為 20 元。如果袋子總共有 56 個硬幣。求袋中每種硬幣的數量。

答案 - 設 25 分和 50 分硬幣的數量分別為 x 和 y

那麼我們有兩個方程 -

$$\mathrm{0.25x\:+\:0.50y\:=\:20}$$

簡化後，我們得到

$$\mathrm{x\:+\:2\:=\:80\:\:\:\:\:Eqn\:(1)}$$

袋子總共有 32 個硬幣，所以我們可以寫成

$$\mathrm{x\:+\:y\:=\:56\:\:\:\:\:Eqn\:(2)}$$

用方程 (1) 減去方程 (2)

$$\mathrm{x\:+\:2y\:-\:x\:-\:y\:=\:80\:-\:56}$$

$$\mathrm{y\:=\:24}$$

將 y 的值代入方程 (2)，我們得到

$$\mathrm{x\:=\:32}$$

因此，25 分硬幣的數量是 32 個，50 分硬幣的數量是 24 個。

4)有兩個整數，它們相差 28。這兩個數字的比率是 7:3。求這兩個數字。

答案 - 設這兩個數字為 x 和 y

這兩個數字的比率是

$$\mathrm{\frac{x}{y}\:=\:\frac{7}{3}}$$

$$\mathrm{3x\:-\:7y\:=\:0\:\:\:\:\:Eqn\:(1)}$$

我們也知道這兩個數字的差是 28

$$\mathrm{x\:-\:y\:=\:28}$$

將兩邊乘以 3，

$$\mathrm{3x\:-\:3y\:=\:84\:\:\:\:\:Eqn\:(2)}$$

用方程 (1) 減去方程 (2)，

$$\mathrm{3x\:-\:3y\:-\:3x\:+\:7y\:=\:84\:-\:0}$$

$$\mathrm{4y\:=\:84}$$

$$\mathrm{y\:=\:21}$$

將 y 的值代入方程 $\mathrm{x\:-\:y\:=\:28}$

$$\mathrm{x\:=\:49}$$

因此，這兩個數字是 21 和 49。

5)較大的數字比較小的數字的 5 倍少 4。而它們的和是 38。求這兩個數字。

答案 - 設較大的數字為 x，較小的數字為 y。

我們知道這兩個數字的和是 38。因此，我們可以寫成

$$\mathrm{x\:+\:y\:=\:38\:\:\:\:\:\:Eqn\:(1)}$$

我們也知道較大的數字比較小的數字的 5 倍少 4。

$$\mathrm{5y\:-\:x\:=\:4\:\:\:\:\:Eqn\:(2)}$$

將兩個方程相加，我們得到

$$\mathrm{x\:+\:y\:+\:5y\:-\:x\:=\:38\:+\:4}$$

$$\mathrm{6y\:=\:42}$$

$$\mathrm{y\:=\:7}$$

將 y 的值代入方程 (1)，我們得到

$$\mathrm{x\:=\:31}$$

因此，我們可以說較大的數字是 31，較小的數字是 7。

結論

在本教程中，我們學習了線性方程以及線性方程的應用、線性方程的代數、線性方程的求解、一個方程一個變數和兩個變數的方程。方程可以定義為等於常數或其他表示式的代數表示式。

線性方程也稱為一元一次方程。線性方程的形式為 $\mathrm{Ax\:+\:c\:=\:0}$ 或 $\mathrm{Ax\:+\:By\:+\:c\:=\:0}$。其中 x 和 y 是變數，A 和 B 分別是變數 x 和 y 的係數，c 是常數。方程有兩邊；左邊 (LHS) 和右邊 (RHS)。當從方程的兩邊加或減去一個數字或變數時，方程仍然成立。

常見問題

1. 線性方程的實際應用是什麼？

線性方程可以在我們的現實生活中以多種方式提供幫助，主要用於預測變數的值。例如，預測隨時間推移的利潤、直線圍成的面積以及計算里程。

2. 可以用多少種方法求解線性方程？

線性方程可以透過代入法、消元法、交叉相乘法和圖形法來求解。

3. 線性方程可以有多個解嗎？

不可以，線性方程不能有多個解。儘管有時可能沒有解。

4. 線性方程可以有多少個變數？

線性方程可以根據引數具有任意數量的變數。

5. 線性方程的指數冪是多少？

線性方程的指數冪為一。