矩陣型別

---

簡介

矩陣是由若干個物件按矩形排列組成的。 “矩陣”一詞是矩陣的複數形式，通常不用於指代單個矩陣。矩陣有很多型別，主要根據元素值、階數、行數和列數等進行分類。在本教程中，我們將討論矩陣的型別。

什麼是矩陣？

矩陣是將數字、變數、符號或表示式以矩形表格形式排列，其中包含不同數量的行和列。這些是矩形陣列，定義了各種運算，例如加法、乘法和轉置。矩陣中的數字或條目稱為其元素。

如果矩陣有 m 行和 n 列，則有 m × n 個元素。矩陣用大寫字母表示（在本例中為“A”），矩陣中的元素用小寫字母和兩個下標表示，這兩個下標按相同的順序和相同的順序表示元素的位置。例如，'𝑎𝑖𝑗'，其中 i 是行數，j 是列數。

矩陣有哪些不同的型別？

矩陣有很多型別，主要根據元素值、階數、行數和列數等進行分類。線性代數中存在不同型別的矩陣。所有型別的矩陣都是根據其元素、階數和特定條件來區分的。特殊的矩陣型別有方陣、對角矩陣、單位矩陣、轉置矩陣和對稱矩陣。這是一個具有相同行數和列數的方陣。目前，使用不同的術語，不同型別的矩陣如下分類，以及它們的定義和示例。

什麼是零矩陣？

如果矩陣中所有指定元素都為 0，則該矩陣稱為零矩陣，通常用零表示。

因此，如果對於所有 i 和 j，$\mathrm{a_{ij}\:=\:0}$，則 A = [aij] m × n 是一個零矩陣。

$$\mathrm{A\:=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}}$$

什麼是三角矩陣？

它是一個矩形矩陣，其所有 0 因子位於對角線下方和/或上方。三角矩陣主要有兩種型別

所有元素都位於主對角線以上為 0 的方陣稱為下三角矩陣。

所有元素都位於主對角線以下為 0 的矩形矩陣稱為上三角矩陣。

例如，

$$\mathrm{A\:=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 5\\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}}$$

上述矩陣是上三角矩陣的一個例子。

例如，

$$\mathrm{B\:=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$$

上述矩陣是下三角矩陣的一個例子

什麼是列矩陣？

列矩陣是行數多於列數的矩陣。

例如，

$$\mathrm{C\:=\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 6 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}}$$

在這個例子中，行數為 3，列數為 2。因此它是一個列矩陣

什麼是行矩陣？

行矩陣是行數少於列數的矩陣。

例如

$$\mathrm{D\:=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 6\\ \end{bmatrix}}$$

在這個例子中，行數為 2，列數為 3。因此它是一個行矩陣。

什麼是行向量？

行向量只包含一行。

例如，

$$\mathrm{R\:=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}}$$

由於上述矩陣中只有一行，因此稱為行向量

什麼是列向量？

列向量只有一列，因為只有一列，所以列向量的階數始終為 mx1

例如，

由於上述矩陣中只有一列，因此稱為列向量

$$\mathrm{T\:=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}}$$

什麼是對角矩陣？

線上性代數中，對角矩陣是指除了主對角線上的元素外，所有元素都為零的矩陣。此術語通常指方陣。主對角線上的元素可以為零或非零。

例如，

$$\mathrm{A\:=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}}$$

什麼是對稱矩陣？

如果矩陣等於其轉置，則該矩陣稱為對稱矩陣。

$$\mathrm{M^{T}\:=\:M}$$

例如，

$$\mathrm{M\:=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5\\ 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}}$$

什麼是反對稱矩陣？

如果矩陣等於其轉置的負值，則該矩陣稱為反對稱矩陣。

$$\mathrm{M^{T}\:=\:-M}$$

例如，

$$\mathrm{M\:=\begin{bmatrix} 0 & 2 & 4 \\ -2 & 0 & 3\\ -4 & -3 & 2 \end{bmatrix}}$$

什麼是單位矩陣？

如果矩陣的所有對角元素都為 1，其餘元素都為零，則該矩陣稱為單位矩陣

例如，

$$\mathrm{M\:=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

由於所有對角元素都為 1，其餘元素都為零，因此它是單位矩陣。

解答題

1)識別以下矩陣。

$$\mathrm{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}}$$

答案 - 因為只有對角線上的元素非零，所以它是一個對角矩陣。

2)識別以下矩陣。

$$\mathrm{\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}}$$

答案 - 因為以上矩陣只有一列，所以它被稱為列向量

3)識別以下矩陣

$$\mathrm{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

答案 - 因為所有對角元素都為 1，其餘元素都為零，所以它是單位矩陣。

4)識別以下矩陣的型別。

$$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} 1 & 5 & 2 \\ \end{bmatrix}}\:and\:B\:=\:\begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ \end{bmatrix}$$

答案 - 因為在這兩種情況下，矩陣 A 和 B 都只有一行和三列，所以給定的矩陣都是行向量。

結論

矩陣通常是由數字或符號組成的矩形陣列，按行和列排列。線性代數中存在許多型別的矩陣。所有型別的矩陣都是根據其元素、階數和特定條件來區分的。零矩陣、三角矩陣、列矩陣、行矩陣、對角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣和單位矩陣

常見問題

1. 矩陣有哪些不同的型別？

零矩陣、三角矩陣、列矩陣、行矩陣、對角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣和單位矩陣

2. 單位矩陣是什麼意思，請舉一個例子？

對角元素為 1，其餘元素為零，因此它是單位矩陣。例如

$$\mathrm{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

3. 行向量是什麼意思？

只有一行的矩陣稱為行向量。因為只有一行，所以該矩陣的階數始終為 1xn

例如，

$$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} 1 & 5 & 2 \\ \end{bmatrix}}$$

4. 對稱矩陣和反對稱矩陣有什麼區別？

如果 $\mathrm{M^{T}\:=\:M}$，則該矩陣稱為對稱矩陣

如果 $\mathrm{M^{T}\:=\:-M}$，則該矩陣稱為反對稱矩陣

5. 上三角矩陣和下三角矩陣有什麼區別？

它是一個矩形矩陣，其所有 0 因子位於對角線下方和/或上方。三角矩陣主要有兩種型別。

所有主對角線以上元素均為 0 的方陣稱為下三角矩陣。

所有主對角線以下元素均為 0 的矩形矩陣稱為上三角矩陣。