對角矩陣

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引言

對角矩陣是指除了主對角線上的元素外，其他所有元素都為零的矩陣。矩陣應用於現實生活中的事件，例如軍事閱兵、學校閱兵和種植。矩陣和行列式的概念被記錄為出現在公元前四世紀，儘管其使用被認為僅始於公元前二世紀。然後，在十七世紀末，矩陣和行列式的概念重新使用。日常世界問題的數學模型被構成 為一組線性方程。矩陣對於解決這些問題是必不可少的。

矩陣

矩陣是用括號[ ]括起來的，按列和行排列的元素的矩形表示。

• 通常，矩陣的元素可以是實數、複數、單變數函式（即多項式函式、三角函式及其組合）和多變數函式。

• 具有m行和n列的矩陣A可以寫成

$$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix}_{m\times\:n},\:1\leq\:i\:\leq\:m\:,\:1\leq\:j\leq\:n,\:\:即}$$

$$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix}_{m\times\:n}}$$

• 矩陣的階或維數定義為$\mathrm{m\times\:n}$。即，m和n是矩陣中存在的行和列。

• 行定義為矩陣中的水平元素。列定義為矩陣中的垂直元素。

矩陣的型別

行矩陣和列矩陣

• $\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} A\end{bmatrix}_{1\times\:4}\:=\:\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1.1 & \sqrt{2}\\ \end{bmatrix}}$是一個階數為1×4的行矩陣。因為這個矩陣的行總數為一。

• 如果$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} A\end{bmatrix}_{1\times\:4}\:=\:\begin{bmatrix} x \\ x\:+\:z \\ 3x \\ 4 \end{bmatrix}}$，則稱為列矩陣。因為此矩陣的列總數為一。

零矩陣和非零矩陣

• 如果矩陣$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix}_{m\times\:n}}$中所有$\mathrm{1\leq\:i\leq\:m}$和$\mathrm{1\leq\:j\leq\:n}$的值都滿足𝑎𝑖𝑗 = 0，則稱為零矩陣，記作O。

• 如果矩陣A中的一個元素非零，則該矩陣稱為非零矩陣。

方陣

• 行數和列數相同的矩陣稱為方陣。也就是說，當一個n×n階方陣時，方陣的階數為n。例如

$$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & c & f\\ g & h & i \end{bmatrix}}$$

三角矩陣

• **上三角矩陣** - 方陣中主對角線以下的元素為零的矩陣。

• 因此，在方陣$\mathrm{B\:=\:\begin{bmatrix} b_{ij}\end{bmatrix}_{m\times\:n},\:如果\:b_{ij}\:=\:0,\:j\:<i.}$中，則該矩陣稱為上三角矩陣。

$$\mathrm{B\:=\:\begin{bmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 8\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}}$$

• **下三角矩陣** - 方陣中主對角線以上的元素為零的矩陣。

• 因此，在方陣$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix}_{m\times\:n},\:如果\:a_{ij}\:=\:0,\:i\:<j.}$中，

$$\mathrm{B\:=\:\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 7 & 6 & 0\\ 3 & 3 & 9 \end{bmatrix}}$$

對角矩陣

• n階方陣$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix}_{m\times\:n}}$的元素$\mathrm{a_{11}\:,\:a_{22}\:,\:a_{33}\:.............,a_{nn}}$稱為**主對角線元素**。

• 除了主對角線元素外，其他元素都為零的矩陣稱為對角矩陣。

• 對於所有$\mathrm{b_{ij\:=\:0\:,\:i\neq\:j}}$的方陣$\mathrm{B\:=\:\begin{bmatrix} b_{ij}\end{bmatrix}_{m\times\:n}}$稱為對角矩陣。因此，在對角矩陣中，除了主對角線元素外，每個元素都為零。

對角矩陣的型別

數量矩陣

• 它定義為對角矩陣中每個主對角線元素都相同。

在方陣$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix}_{m\times\:n}}$中，如果$\mathrm{a_{ij}\:=\:c;i\:=\:j}$且$\mathrm{a_{ij}\:=\:0;\:i\neq\:j}$，則A為數量矩陣。這裡c是一個常數。

$$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}}$$

單位矩陣

• 單位矩陣 - 如果對角矩陣的每個元素都為零，除了主對角線元素為1。

在方陣$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix}_{m\times\:n}}$中，如果$\mathrm{a_{ij}\:=\:1;i\:=\:j}$ 且$\mathrm{a_{ij}\:=\:0;i\:\neq\:j}$，則矩陣A為單位矩陣。

$$\mathrm{I\:=\:\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

對角矩陣的性質

對角矩陣的加法和乘法非常簡單。如果對角矩陣的主對角線元素（從左上角開始）為𝑎1，……，𝑎𝑛，則可以透過將矩陣寫成diag(𝑎1，……，𝑎𝑛)來執行矩陣運算。兩個對角矩陣的加法和乘法為

$$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}\:\:\:B\:=\:\begin{bmatrix} c & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix}}$$

$$\mathrm{A\:+\:B\:=\begin{bmatrix} a\:+\:c & 0 \\ 0 & b\:+\:d \end{bmatrix}}$$

$$\mathrm{AB\:=\:\begin{bmatrix} ac & 0 \\ 0 & bd \end{bmatrix}}$$

• **對角矩陣的轉置**適用於每個主對角線元素都不為零的情況。

對角矩陣的應用

• 對角矩陣廣泛應用於**線性代數**中。

• **線性對映**由對角矩陣表示。希望表示線性對映。

• 根據譜定理，對角矩陣與正規矩陣相似。

解題示例

1) 求矩陣X的值？

$$\mathrm{AX\:=\:B}$$

$$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 0\\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix}\:\:X\:=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\:\:B\:=\begin{bmatrix} 28 \\ 12 \\ 16 \end{bmatrix}}$$

答案

$$\mathrm{\begin{bmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 0\\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix}\:\:\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\:\:=\:\begin{bmatrix} 28 \\ 12 \\ 16 \end{bmatrix}}$$

$$\mathrm{AX\:=\:\begin{bmatrix} 7x\:+\:0\:+\:0 \\ 0\:+\:12y\:+\:0 \\ 0\:+\:0\:+\:8z \end{bmatrix}}$$

$$\mathrm{AX\:=\begin{bmatrix} 7x \\ 12y \\ 8z \end{bmatrix}}$$

$\mathrm{AX\:=\:B}$，因此

$$\mathrm{7x\:=\:28}$$

$$\mathrm{12y\:=\:12}$$

$$\mathrm{8z\:=\:16}$$

$$\mathrm{x\:=\:4\:,\:y\:=\:1\:,\:z\:=\:2}$$

$$\mathrm{X\:=\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$

2) 證明矩陣A乘以單位矩陣將得到相同的矩陣？

$\mathrm{A\:=\begin{bmatrix} 12 & 8 & 7 \\ 6 & 11 & 3\\ -3 & -1 & 8 \end{bmatrix}}$

答案

$$\mathrm{A\:=\begin{bmatrix} 12 & 8 & 7 \\ 6 & 11 & 3\\ -3 & -1 & 8 \end{bmatrix}\:\:I\:=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

$$\mathrm{AI\:=\:\begin{bmatrix} 12 & 8 & 7 \\ 6 & 11 & 3\\ -3 & -1 & 8 \end{bmatrix}\:\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

$$\mathrm{AI\:=\:\begin{bmatrix} 12 & 8 & 7 \\ 6 & 11 & 3\\ -3 & -1 & 8 \end{bmatrix}}$$

因此，任何矩陣乘以單位矩陣都將得到相同的矩陣。

結論

矩陣應用於現實生活中的事件，例如軍事閱兵、學校閱兵和種植。矩陣是用括號括起來的，按列和行排列的元素的矩形表示。如果矩陣A中的一個元素非零，則該矩陣稱為非零矩陣。對角矩陣的加法和乘法非常簡單。除了主對角線元素外，其他元素都為零的矩陣稱為對角矩陣。對角矩陣的轉置適用於每個主對角線元素都不為零的情況。對角矩陣廣泛應用於線性代數中。線性對映由對角矩陣表示。希望表示線性對映。根據譜定理，對角矩陣與正規矩陣相似。

常見問題解答

1. 什麼是正規矩陣？

• 如果一個方陣與其共軛轉置矩陣的乘法是**可交換**的，則該矩陣稱為**正規矩陣**。

• 實數元素的方陣，其共軛轉置矩陣與其自身相同，因為每個元素的實數部分就是其自身。因此，所有實數元素的方陣都是正規矩陣。

2. 定義共軛轉置矩陣？

複數元素矩陣的共軛轉置矩陣是透過首先轉置該矩陣，然後將轉置矩陣的每個元素替換為其共軛複數而得到的。

3. 矩陣的秩是什麼？

• 矩陣的子矩陣和子式是定義矩陣秩所必需的。

• 矩陣𝐵的秩是其非零子式行列式的最高階數。

• 矩陣𝐵的秩記作⍴(𝐵)。零矩陣的秩為零。如果矩陣中至少存在一個非零元素，則$\mathrm{p(B)\:\geq\:1}$。

4. 矩陣的應用有哪些？

• 矩陣用於表示線性方程組的值。

• 矩陣編碼及其函式用於在各個領域生成計算機電子表格，例如業務相關的預算編制、銷售計劃的定價以及分析科學實驗的結果。

5. 解釋矩陣的轉置

透過轉置矩陣𝐴的列和行而得到的矩陣稱為𝐴的轉置矩陣。它將標記為𝐴𝑇。也就是說，如果$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix}_{m\times\:n}}$，則$\mathrm{A^{T}\:=\:\begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix}_{n\times\:m}}$。