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法學直流電機中的轉矩 - 電樞轉矩和軸轉矩
轉矩定義為力繞軸的轉動矩。它由力 (F) 和力作用線到旋轉軸的垂直距離 (r) 的乘積來衡量，即
$$\mathrm{轉矩,\: 𝜏 = 𝐹 × 𝑟 \:… (1)}$$
轉矩的單位是牛頓米 (Nm)。
直流電機的電樞轉矩
在直流電機中，在距離 r（電樞半徑）處作用於每個導體的周向力 (F) 促使電樞旋轉。所有電樞導體轉矩之和稱為電樞轉矩 (τa)。
令：
$$\mathrm{𝑃 = 極數}$$
$$\mathrm{𝑟 = 電樞半徑}$$
$$\mathrm{𝑙 = 各導體的有效長度}$$
$$\mathrm{𝑍 = 電樞導體總數}$$
$$\mathrm{𝐴 = 並聯支路數}$$
$$\mathrm{𝑖 = 各導體中的電流}$$
$$\mathrm{𝐵 = 磁通密度}$$
$$\mathrm{\varphi = 每極磁通}$$
因此，
$$\mathrm{作用於每個導體的力, \:𝐹 = 𝐵 \:𝑖 \:𝑙}$$
$$\mathrm{一個導體產生的轉矩 = 𝐹 \times 𝑟}$$
$$\mathrm{\therefore \:總電樞轉矩,\: \tau_{𝑎} = 𝑍 × (𝐹 \times 𝑟) = 𝑍 𝐵 𝑖 𝑙 𝑟}$$
由於，
$$\mathrm{各導體中的電流,\: 𝑖 =\frac{𝐼_{𝑎}}{𝐴}}$$
$$\mathrm{磁通密度,\:𝐵 =\frac{\varphi}{𝑎}}$$
其中，
$$\mathrm{𝑎 = 磁通路徑在半徑 r 處的橫截面積 =\frac{2\pi 𝑟𝑙}{𝑃}}$$
$$\mathrm{\therefore \tau_{𝑎} = 𝑍 \times\frac{\varphi}{𝑎}\times\frac{𝐼_{𝑎}}{𝐴}\times 𝑙 \times 𝑟 = 𝑍 \times \frac{\varphi}{2𝜋𝑟𝑙⁄𝑃}\times\frac{𝐼_{𝑎}}{𝐴}\times 𝑙 \times 𝑟}$$
$$\mathrm{⇒ \tau_{𝑎} =\frac{𝑃𝑍}{2\pi 𝐴}\varphi 𝐼_{𝑎} Nm \:… (2)}$$
公式 (2) 中的表示式稱為直流電機的電樞轉矩。
對於給定的直流電機，(PZ/2πA) 是一個常數。因此，
$$\mathrm{\tau_{𝑎} \varpropto \varphi 𝐼_{𝑎}… (3)}$$
因此，直流電機產生的電樞轉矩與每極磁通和電樞電流成正比。
此外，直流電機的反電動勢由下式給出：
$$\mathrm{𝐸_{𝑏} =\frac{𝑁𝑃 \varphi 𝑍}{60𝐴}}$$
$$\mathrm{⇒\frac{𝑃\varphi 𝑍}{𝐴}=\frac{60 × 𝐸_{𝑏}}{𝑁}… (4)}$$
由公式 (2) 和 (4)，我們得到：
$$\mathrm{\tau_{𝑎} =\frac{1}{2𝜋}\times (\frac{60 × 𝐸_{𝑏}}{𝑁}) \times 𝐼_{𝑎}}$$
$$\mathrm{⇒ \tau_{𝑎} = 9.55 ×\frac{𝐸_𝑏𝐼_𝑎}{𝑁}Nm\: … (5)}$$
直流電機的軸轉矩
直流電機中可用於做有用功的轉矩稱為軸轉矩 (&taush)。
在直流電機中，電機電樞中產生的總轉矩並非全部傳遞到電機軸上，因為一部分轉矩損失在克服機器的機械損耗。因此，軸轉矩略小於電樞轉矩。
如果電機的轉速為 N rpm，則直流電機的輸出軸功率（以瓦特為單位）由下式給出：
$$\mathrm{𝑃_{𝑠ℎ} =\frac{2\pi 𝑁\tau_{𝑠ℎ}}{60}}$$
$$\mathrm{⇒ \tau_{𝑠ℎ} = 9.55 \times\frac{𝑃_{𝑠ℎ}}{𝑁}\:Nm … (6)}$$
此外，電樞轉矩和軸轉矩之差稱為損耗轉矩，即
$$\mathrm{損耗轉矩 = \tau_{a} − \tau_{𝑠ℎ} = 9.55 \times \frac{機械損耗}{𝑁}\:… (7)}$$
數值例子
一臺 240 V 直流 shunt 電機吸收總電流 30 A，並以 1500 RPM 的轉速執行。如果電樞和 shunt 磁場電阻分別為 0.30 Ω 和 240 Ω。求電樞產生的轉矩。如果總軸輸出功率為 10 馬力。另外，確定電機的軸轉矩和損耗轉矩。
解答
這裡，
$$\mathrm{分勵磁場電流,\:𝐼_{sh} =\frac{240}{240}= 1 \:A}$$
$$\mathrm{電樞電流,\:𝐼_{𝑎} = 30 − 1 = 29 \:A}$$
$$\mathrm{反電動勢, 𝐸_{𝑏} = 𝑉 − 𝐼_{𝑎}R_{a} = 240 − (24 \times 0.30) = 232.8 \:V}$$
因此，電樞轉矩為：
$$\mathrm{\tau_{a} = 9.55 \times\frac{𝐸_𝑏𝐼_𝑎}{𝑁}= 9.55 \times (\frac{232.8 × 29}{1500 }) = 42.98\: Nm}$$
軸轉矩為：
$$\mathrm{\tau_{𝑠ℎ} = 9.55 \times\frac{𝑃_{𝑠ℎ}}{𝑁}= 9.55 \times (\frac{746 \times 7}{1500} ) = 33.25 Nm}$$
損耗轉矩為：
$$\mathrm{損耗轉矩 = \tau_{a} − \tau_{𝑠ℎ} = 42.98 − 33.25 = 9.73 \:Nm}$$
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