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法學三相非同步電動機的執行轉矩
執行狀態下三相非同步電動機的轉矩
設三相非同步電動機靜止時轉子電路每相電阻為R2，每相電抗為X2，每相感應電動勢為E2。如果‘s’是電機執行時的滑差，則：
$$\mathrm{每相轉子電抗 , 𝑋′_2 = 𝑠 𝑋_2}$$
$$\mathrm{每相轉子電動勢 , 𝐸′_2 = 𝑠 𝐸_2}$$
$$\mathrm{\therefore \:每相轉子阻抗 , 𝑍′_2 = \sqrt{𝑅_2^2 + (𝑠 𝑋_2)^2}}$$
$$\mathrm{每相轉子電流 ,𝐼′_2 =\frac{𝐸'_2}{𝑍′_2}=\frac{𝑠𝐸_2}{\sqrt{𝑅_{2}^{2} + (𝑠 𝑋_2)^2}}… (1)}$$
$$\mathrm{轉子功率因數, cos \varphi′_2 =\frac{𝑅_2}{𝑍′_2}=\frac{𝑅_2}{\sqrt{𝑅_{2}^{2} + (𝑠 𝑋_2)^2}}… (2)}$$
因此，
$$\mathrm{執行轉矩, \tau_𝑟 \propto 𝐸′_2 𝐼′_2 cos \varphi′_2 … (3)}$$
$$\mathrm{\because 𝐸′_2 \propto 磁通 (\varphi)}$$
$$\mathrm{\therefore \tau_𝑟 = 𝐾 \varphi 𝐼′_2 cos \varphi′_2}$$
$$\mathrm{⇒ \tau_𝑟 = 𝐾 \varphi ×\frac{𝑠𝐸_2}{\sqrt{𝑅_{2}^{2} + (𝑠 𝑋_2)^2}}\times\frac{𝑅_2}{\sqrt{𝑅_{2}^{2} + (𝑠 𝑋_2)^2}}}$$
$$\mathrm{⇒ \tau_𝑟 =\frac{𝐾 \varphi 𝑠 𝐸_2 𝑅_2}{𝑅_2^2 + (𝑠 𝑋_2)^2}… (4)}$$
$$\mathrm{\because 𝐸_2 \propto \varphi}$$
$$\mathrm{\therefore \tau_𝑟 =\frac{𝐾 𝑠 𝐸_2^2 𝑅_2}{𝑅_2^2 + (𝑠 𝑋_2)^2}… (5)}$$
公式(4)給出了執行轉矩的值。可以看出
- 執行轉矩與滑差成正比，即滑差增加，轉矩增加，反之亦然。
- 執行轉矩與電源電壓的平方成正比，因為(E2 ∝ V)。
由於三相非同步電動機的執行轉矩由下式給出：
$$\mathrm{\tau_𝑟 =\frac{𝐾 \varphi 𝑠 𝐸_2 𝑅_2}{𝑅_2^2 + (𝑠 𝑋_2)^2}}$$
由於電源電壓(V)恆定，則定子磁通以及感應電動勢E2將保持恆定。
$$\mathrm{\therefore \tau_𝑟 =\frac{𝐾_1 𝑠 𝑅_2}{𝑅_2^2 + (𝑠 𝑋_2)^2}… (6)}$$
其中，K1 = K ϕ E2為常數。
$$\mathrm{⇒ \tau_𝑟 =\frac{𝐾_1 𝑅_2}{\frac{𝑅_2^2}{𝑠}+ 𝑠𝑋_2^2}… (7)}$$
為了使執行轉矩最大，公式(6)的分母應最小。因此，對公式(6)的分母關於滑差's'求導，並令其等於零，即：
$$\mathrm{\frac{𝑑}{𝑑𝑠} (\frac{𝑅_2^2}{𝑠}+ 𝑠𝑋_2^2) = 0}$$
$$\mathrm{⇒ −\frac{𝑅_2^2}{𝑠^2}+ 𝑋_2^2 = 0}$$
$$\mathrm{⇒ 𝑅_2 = 𝑠 𝑋_2 … (8)}$$
因此，在執行條件下獲得最大轉矩時，
$$\mathrm{每相轉子電阻= 每單位滑差 × 靜止轉子每相電抗}$$
現在，
$$\mathrm{\tau_𝑟 \propto\frac{𝑠 𝑅_2}{𝑅_2^2 + (𝑠 𝑋_2)^2}}$$
將R2 = s X2代入上述表示式，執行條件下的最大轉矩由下式給出：
$$\mathrm{⇒ \tau_𝑟 \propto\frac{1}{2 𝑋_2}… (9)}$$
對應於最大轉矩的滑差由下式給出：
$$\mathrm{𝑠_𝑚 =\frac{𝑅_2}{𝑋_2}… (10)}$$
數值例子
一臺6極，50Hz，三相非同步電動機，每相轉子電阻為0.03Ω，靜止電抗為0.5Ω。確定對應於最大轉矩的滑差和產生最大轉矩的電機速度。
解答
(1) 對應於最大執行轉矩的滑差為：
$$\mathrm{𝑠_𝑚 =\frac{𝑅_2}{𝑋_2}=\frac{0.03}{0.5}= 0.06}$$
(2) 對應於最大轉矩的電機速度為：
$$\mathrm{同步速度, 𝑁_𝑠 =\frac{120𝑓}{𝑃}=\frac{120 \times 50}{6}= 1000 RPM}$$
$$\mathrm{\therefore 𝑁_𝑟 = 𝑁_𝑠(1 − 𝑠_𝑚) = 1000 × (1 − 0.06) = 940 RPM}$$
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