駐波簡正模式

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簡介

駐波是由兩個沿相反方向傳播、頻率和振幅相同的波相互干涉產生的。

當這些波疊加時，就會發生這種情況，因此這兩個波的能量要麼加在一起，要麼完全抵消。一根一端繫住的振動繩會產生駐波或簡正模式。

什麼是駐波？

駐波也稱為駐定波。駐波簡單地定義為在弦上形成的波，它是兩個頻率和振幅相同且沿相反方向傳播的波疊加的結果（Wang 等人，2021）。

彈簧上的質量有一個固有頻率，可以幫助它自由地來回擺動。然而，一根拉緊的弦，如果一端固定，則會以整個頻率譜擺動，並有其自身的振動模式。這種振動模式被稱為駐波或簡正模式。

如果一根拉長的弦兩端固定，並且連續波沿 x 方向傳播，則波到達特定的固定端會反射並返回到左側（Ong, W & Zainulabidin, 2020）。

當左側傳播的波反射並開始向右傳播時，相同的迴圈繼續。它們開始相互疊加，最終結果是，在這個過程中，有太多相互疊加的波永不停歇地相互疊加（Muchomas，2022）。它形成了兩種型別的波，縱波和橫波，它們一起產生了駐波。

圖 1：駐波

駐波方程

如果考慮在任意點 u 和時間 t，兩個波沿相反方向（即弦上的左右方向）移動，並且它們具有相同的振幅、頻率和波長（Ong, W & Zainulabidin, 2020）。使用三角恆等式 sin (a + b) = sin (a) cos (b) + cos(a)sin(b)，可以寫出結果並形成一個方程，即 - y(u,t) = A sin(ku - ωt) + A sin(ku + ωt) = 2A sin(ku)cos(ωt)。

由於位置和時間依賴性已經分離，因此波不再是行波（Wang 等人，2021）。沒有能量沿著弦傳播，這將表明弦的一部分將以最大振幅擺動，而另一部分甚至不會移動。在這裡，它產生了駐波或簡正模式。

圖 2：駐波的形成

什麼是節點和波腹？

駐波的模式以節點和波腹的交替模式為特徵。

節點

節點是駐波中波振幅最小的特定點。它可以定義為所有駐波，其特徵在於它們的位置以及靜止的介質（Ong, W & Zainulabidin, 2020）。

當波峰遇到波谷時，就會產生節點。在節點處，振幅為 0。

波腹

駐波也以波腹為特徵。節點的對立面是波腹。當波峰遇到波峰，波谷遇到波谷時，就會產生波腹（labman，2022）。

波腹可以定義為最大振幅區域，該區域正好位於振動物體或彈簧中相鄰節點之間，這意味著在駐波的每個振動週期中，透過最大位移次數的點。

圖 3：節點和波腹

駐波或簡正模式的示例

駐波最簡單、最常見的例子是在任何絃樂器（如撥絃吉他）產生的波中找到的。這根撥動的吉他弦發出特定的聲頻，這取決於兩件事，即弦的長度以及弦的拉緊程度或密度（Ong, W & Zainulabidin, 2020）。

由於弦上只能形成某些駐波或簡正模式，因此每根弦只能發出特定的音符。在鼓中也可以看到駐波的影響。如果可以在鼓上撒粉，然後使其振動，則可以檢查駐波的外觀。

為了更好地理解駐波或簡正模式，更容易以兩個人搖晃跳繩的兩端為例（Ualberta，2022）。如果他們開始同步搖晃繩子，就會形成駐波。

結論

簡而言之，通常，當兩端反射或移動的兩波產生干涉圖樣時，這種圖樣是最複雜和最令人困惑的。但是，由於波的波長恰到好處，所以整數個半波長恰好適合弦的長度；它形成了駐波。駐波的模式幾乎可以在任何型別的結構中建立。但是，當它處於 2D 或 3D 時，它變得更加複雜。如果一個結構以所有基本頻率振動，那麼結果表明所有粒子都將以完全相同的頻率同相振動。

常見問題

Q1. 請列舉兩個駐波的例子。

當然可以在任何有弦的樂器中找到駐波。例如，在吉他中，最簡單的駐波示例是兩個人搖晃跳繩的兩端。

Q2. 簡正模式是什麼？

駐波也稱為簡正模式，它透過縱波和橫波形成。

Q3. 節點和波腹如何與駐波相關？

駐波模式以節點和波腹的交替模式為特徵。駐波的振幅可以無限增大，直到結構受到損壞。

參考文獻

期刊

Wang, Z., Shen, Y., Liu, Q., & Fu, X. (2021). 透過射線-波二元性統一方位角行波和駐波結構光。光學學報，23(11)，115604。檢索自：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2040-8986/ac160b/pdf

Ong, W. S., & Zainulabidin, M. H. (2020)。透過有限元分析分析在振動節點和波腹處連線有減振器的梁結構的振動特性。JSE 科學與工程雜誌，1(1)，7-16。檢索自：https://journals.umkt.ac.id/index.php/jse/article/download/519/447

網站

Muchomas (2022)。關於駐波/簡正模式，檢索自：https://muchomas.lassp.cornell.edu/p214/Notes/IntroWaves/node15.html 。[檢索於 2022 年 6 月 17 日]

ualberta (2022)。關於駐波；簡正模式。檢索自：https://sites.ualberta.ca [檢索於：2022 年 6 月 17 日]

labman (2022)。關於駐波。檢索自：http://labman.phys.utk.edu [檢索於 2022 年 6 月 17 日]

physicskey (2022)。關於駐波和簡正波。檢索自：https://www.physicskey.com/39/standing-waves-and-normal-modes. [檢索於 2022 年 6 月 17 日]