使用布林代數化簡布林表示式

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化簡是一種透過使用一些布林恆等式將布林表示式最小化或簡化為等效表示式的途徑。布林代數是應用於二進位制數系統的數學。它是由英國數學家喬治·布林開發的，用於將複雜的邏輯運算簡化為最簡單的形式。

布林函式的化簡非常重要，因為它減少了實現邏輯函式所需的邏輯器件/閘電路的數量。這反過來又降低了電路的硬體成本和複雜性。此外，它還提高了系統的可靠性。

在本教程中，我們將瞭解如何將複雜的布林函式簡化或化簡或最小化為其最簡單的形式。此外，我們還將討論一些示例，以便更好地理解這個概念。

使用布林代數化簡布林表示式的步驟

可以透過以下步驟簡化或最小化複雜的布林表示式：

步驟 1 - 乘以所有需要的變數以去除括號“()”。

步驟 2 - 查詢表示式中所有相同的項。只保留其中一項，其餘項全部刪除。例如：

$$\mathrm{ABC+ABC+ABC=ABC}$$

步驟 3 - 在同一項中查詢變數及其否定。此項也將被刪除。例如：

$$\mathrm{AB\overline{B}C=A.0.C=AC}$$

步驟 4 - 識別那些除了一個變數外其餘變數都相同的項對。該變數可能在一項中缺失。在這種情況下，將刪除較大的項。

例如：

$$\mathrm{AB\overline{C}+AB=AB(\overline{C}+1)=AB.1=AB}$$

步驟 5 - 識別那些變數相同且一個或多個變數取反的項對。如果一個項對中的一項的某個變數取反，而另一項的該變數未取反，則將這些項組合成一個項，並刪除該變數。

例如：

$$\mathrm{AB\overline{C}+ABC=AB(\overline{C}+C)=AB.1=AB}$$

現在，讓我們看一些例子來深入理解這個概念。

示例 1

使用布林代數化簡以下布林表示式。

$$\mathrm{\mathit{f}=A[B+C\lgroup \overline{A\overline{B}+AC\rgroup}}]$$

解答

給定的布林表示式為：

$$\mathrm{\mathit{f}=A[B+C\lgroup \overline{A\overline{B}+AC\rgroup}}]$$

透過應用德摩根定律 $\mathrm{\lgroup\overline{A+B}=\overline{A}\:\overline{B}\rgroup}$，化簡項 $\mathrm{\lgroup\overline{A\overline{B}+AC\rgroup }}$，得到：

$$\mathrm{\mathit{f}=A[B+C\lgroup \overline{A\overline{B}}+\overline{AC\rgroup}}]$$

使用德摩根定理 $\mathrm{\lgroup \overline{AB}=\overline{A}+\overline{C}\rgroup}$，得到：

$$\mathrm{\mathit{f}=A[B+C\lgroup \overline{A}+B\rgroup\lgroup A+\overline{C}\rgroup}]$$

將 $\mathrm{ [\lgroup\overline{A}+B\rgroup\lgroup\overline{A}+\overline{C} \rgroup]}$ 相乘，得到：

$$\mathrm{\mathit{f}=A[B+C\lgroup\overline{A}\:\overline{A}+\overline{A}B+\overline{A}\:\overline{C}+B\overline{C}\rgroup]}$$

化簡：

$$\mathrm{\mathit{f}=A\lgroup B+C\overline{A}\:\overline{A}+C\overline{A}B+C\overline{A}\:\overline{C}+CB\overline{C}\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=A\lgroup B+\overline{A}C+\overline{A}BC+0+0\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=A\lgroup B+\overline{A}C+\overline{A}BC\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=A[ B+\overline{A}C\lgroup 1+B\rgroup]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=A\lgroup B+\overline{A}C\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=AB+A\overline{A}C}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=AB+0}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{f}=AB}$$

這是給定布林函式的簡化或最小化形式。

示例 2

使用布林代數化簡以下布林表示式。

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+B\rgroup[AC+\lgroup B+\overline{C}\rgroup]}$$

解答

給定的布林表示式為：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+B\rgroup\overline{[AC+\lgroup B+\overline{C}\rgroup]}}$$

使用德摩根定理 $\mathrm{\lgroup\overline{A+B}=\overline{A}\:\overline{B}\rgroup}$，化簡項 $\mathrm{\overline{\lgroup AC+\lgroup B+\overline{C}\rgroup\rgroup}}$，得到：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+B\rgroup\overline{[AC.\lgroup B+\overline{C}\rgroup]}}$$

使用德摩根定理化簡 $\mathrm{\overline{[ AC}.\overline{\lgroup B+\overline{C}\rgroup}]}$，得到：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+B\rgroup[\lgroup \overline{A}+\overline{C}\rgroup.\lgroup \overline{B}C\rgroup]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=\lgroup A+B\rgroup\lgroup \overline{A}\:\overline{B}C+\overline{C}\:\overline{B}C\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=\lgroup A+B\rgroup\lgroup \overline{A}\:\overline{B}C+0\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=\lgroup A+B\rgroup\lgroup \overline{A}\:\overline{B}C\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=\lgroup A\overline{A}\:\overline{B}C+B\overline{A}\:\overline{B}C\rgroup}$$

重新排列，得到：

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=\lgroup A\overline{A}\:\overline{B}C+\overline{A}\:\overline{B}BC\rgroup}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{f}=0+0=0}$$

因此，在化簡給定的布林函式後，我們得到了 0 作為化簡後的表示式。這表明給定的函式無法實現。

示例 3

使用布林代數化簡以下布林表示式。

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+AB\rgroup\lgroup A+\overline{A}B\rgroup\lgroup A+C\rgroup}$$

解答

給定的布林表示式為：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+AB\rgroup\lgroup A+\overline{A}B\rgroup\lgroup A+C\rgroup}$$

將前兩項相乘，得到：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup AA+A\overline{A}B+ABA+AB\overline{A}B\rgroup\lgroup A+C\rgroup}$$

重新排列：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup AA+A\overline{A}B+AAB+A\overline{A}BB\rgroup\lgroup A+C\rgroup}$$

化簡：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+0+AB+0\rgroup\lgroup A+C\rgroup}$$

提取公因子：

$$\mathrm{\mathit{f}= A\lgroup 1+B\rgroup\lgroup A+C\rgroup}$$

化簡：

$$\mathrm{\mathit{f}= A.1\lgroup A+C\rgroup=A\lgroup A+C\rgroup}$$

展開：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup AA+AC\rgroup}$$

化簡：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+AC\rgroup}$$

化簡：

$$\mathrm{\mathit{f}= A\lgroup 1+C\rgroup=A}$$

因此，這是給定布林表示式的簡化或最小化形式。

結論

在本教程中，我們討論了使用布林代數化簡布林表示式。我們討論了逐步化簡複雜布林表示式的步驟。此外，我們還討論了幾個已解決的示例，以徹底理解這個概念。

在邏輯電路實現中，電路複雜性和硬體成本起著重要的作用。電路尺寸也影響著電路的速度。因此，為了儘可能達到理想狀態，我們需要使用最少的硬體部件（即邏輯閘）來實現邏輯電路。這可以透過將布林表示式化簡或最小化為其簡化形式來實現。

已經開發了幾種技術來化簡複雜的布林表示式。布林代數是最基本的技術之一。從以上示例可以清楚地看出，布林代數提供了一套規則，可以直接應用於將布林表示式化簡或最小化為其簡化形式。