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引言

三角學的概念是由希臘數學家希帕克斯發展起來的，而“三角學”這個名稱則是 16 世紀拉丁語的衍生詞。

三角學是數學中最重要的分支之一。“三角學”這個名稱由“Trigonon”和“Metron”這兩個片語成，分別表示三角形和測量。它是研究直角三角形邊與角之間關係的學科。在直角三角形中，斜邊長度與鄰邊（底邊）長度的比值稱為一個角的正割。正割 0 度的角位於正 x 軸上。因此，正割 0 度的值 = 1。

在本教程中，我們將討論正割 0 的值和三角學。

三角函式

三角學是數學的一個分支，研究直角三角形邊與角的比值之間的關係。用於研究這種關係的比值稱為三角比。三角函式的主要分支是正切、正弦和餘弦角。主要函式還可以生成另外三個函式：餘切、正割和餘割函式。

正弦函式

斜邊長度與對邊長度（垂直邊）的比值稱為角的正弦函式。根據上圖中的三角形，sin 的值為

$$\mathrm{\sin\theta\:=\:\frac{垂直邊}{斜邊}}$$

餘弦函式

它是斜邊長度與鄰邊長度（底邊）的比值。根據上面提到的三角形，餘弦函式推導如下

$$\mathrm{\cos\theta\:=\:\frac{底邊}{斜邊}}$$

正切函式

鄰邊和對邊的長度之比稱為正切函式。

$$\mathrm{\tan\theta\:=\:\frac{垂直邊}{底邊}}$$

另外三個函式是從正弦、餘弦和正切基本函式推匯出來的，分別是正割、餘割和餘切。

$$\mathrm{\cot\theta\:=\:\frac{1}{\tan\theta}\:=\:\frac{底邊}{垂直邊}}$$

$$\mathrm{\sec\theta\:=\:\frac{1}{\cos\theta}\:=\:\frac{斜邊}{底邊}}$$

$$\mathrm{\:cosec\theta\:=\:\frac{1}{\sin\theta}\:=\:\frac{斜邊}{垂直邊}}$$

正割函式及其圖形

在三角學中，正割函式是週期性的。在直角三角形中，斜邊長度與底邊長度的比值稱為正割函式或 sec 函式。它也可以寫成

$$\mathrm{\sec\theta\:=\:\frac{1}{\cos\theta}\:=\:\frac{斜邊}{底邊}}$$

因為它餘弦函式的倒數。由於我們已經熟悉餘弦圖，因此繪製正割圖變得非常簡單。透過確定每個餘弦值的倒數，我們可以快速建立 $\mathrm{\sec\:x}$ 的圖形。當 $\mathrm{\cos\:x}$ 的值非常小時，sec x 將具有非常大的值。具體來說，確定每個 $\mathrm{y\:=\:\cos\:x}$ 線上 y 值的 1/y。下表顯示了一些以弧度表示的角度 -

x	cos x	sec x
0	1	1
$\mathrm{\frac{\pi}{6}}$	$\mathrm{\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$\mathrm{\frac{2}{\sqrt{3}}}$
$\mathrm{\frac{\pi}{4}}$	$\mathrm{\frac{1}{\sqrt{2}}}$	$\mathrm{\sqrt{2}}$
$\mathrm{\frac{\pi}{3}}$	$\mathrm{\frac{1}{2}}$	2
$\mathrm{\frac{\pi}{2}}$	0	未定義

此外，我們注意到當餘弦函式的值為零時，正割函式趨於無窮大，這意味著正割在該點未定義。因此，我們得到如下 sec x 圖 -

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正割 0 度的值為 1。正割 0 度表示為 $\mathrm{\sec\:(0°\:\times\:\frac{\pi}{180°})}$，通常稱為 $\mathrm{\sec\:(0\pi)}$ 或 $\mathrm{\sec\:(0)}$。0 度的角位於正 x 軸上。因此，$\mathrm{\sec\:0°\:value\:=\:1}$。

$\mathrm{\sec\:(0°)}$ 可以表示為 $\mathrm{(\sec\:0°\:+\:n\:\times\:360°)}$, 𝑛 ∈ 𝑍。由於正割函式是週期函式，因此 $\mathrm{\sec\:0°\:=\:\sec\:360°\:=\sec\:720°}$，依此類推。

因為正割是偶函式，所以 $\mathrm{\sec\:(-0°)}$ 等於 $\mathrm{\sec\:(0°)}$，等於 1

正割函式的重要性

正割函式是三角學中重要的三角函式之一。一條直線或射線與曲線（特別是圓）相切不止一次，則它等價於直角三角形中斜邊與底邊的比值。正割函式的另一個名稱是餘弦函式的倒數。

例題

例 1 - 在下圖中找到 secB 的值

解 - 在三角形 ABC 中，邊 AB 和 AC 的長度分別為 3 和 3，根據勾股定理，我們得到 BC 的長度為 $\mathrm{\sqrt{13}}$

我們知道，在直角三角形中，斜邊長度與底邊長度的比值稱為正割函式或 sec 函式，即

$$\mathrm{\sec\:B\:=\:\frac{斜邊}{底邊}}$$

現在代入值，$\mathrm{\sec\:B\:=\:\frac{\sqrt{13}}{2}}$

例 2 - 找出 $\mathrm{\cos\:2\theta\:and\:\sec\:\theta\:}$ 之間的關係。

解 - 我們知道 $\mathrm{\cos\:2\theta\:=\:cos^{2}\theta\:-\:sin^{2}\theta\:}$ 且 $\mathrm{\sin^{2}\theta\:+\:\cos^{2}\:\theta\:=\:1}$

$\mathrm{\:\:\:\Rightarrow\:sin^{2}\theta\:=\:1\:-\:\cos^{2}\:\theta\;}$

現在將此值代入上式

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\cos\:2\theta\:=\:\cos^{2}\theta\:-\:(1\:-\:\cos^{2}\theta\:)}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\cos\:2\theta\:=\:2\cos^{2}\theta\:-\:1}$

我們知道 $\mathrm{\sec\:\theta\:=\:\frac{1}{\cos\:\theta\:}}$ 將此值代入上式。

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\cos\:2\theta\:=\:\frac{2}{\sec^{2}\:\theta}\:-\:1}$

例 3 - 求 $\mathrm{\tan\:45°\:+\:\cot\:45°}$ 的值

解 - $\mathrm{\tan\:45°\:+\:\cot\:45°}$

現在代入其值 $\mathrm{\tan\:45°\:+\:\cot\:45°\:=\:1\:+\:1}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:2}$

例 4 - 求 $\mathrm{\sin^{2}48°\:+\:\cos^{2}48°}$ 的值

解 - 給定方程為 $\mathrm{\sin^{2}48°\:+\:\cos^{2}48°}$

這裡我們不需要代入其值，因為我們知道 $\mathrm{\sin^{2}\theta\:+\:cos^{2}\theta\:=\:1}$，其中 𝜃 可以是任何值，因此

$\mathrm{\sin^{2}48°\:+\:\cos^{2}48°\:=\:1}$

例 5 - 正割函式的定義域是什麼？

解 - 正割函式的定義域為 $\mathrm{R\:-\:(2n\:+\:1)\frac{\pi}{2}}$，其中 R 為實數。

例 6 - 正割函式的值域是什麼？

解 - 正割函式的值域為 $\mathrm{(-\infty,\:-1]\cup[+1\:,+\infty)}$

例 7 - 當 $\mathrm{\sec\:\theta}$ 的值為 2 時，求 $\mathrm{\tan\:\theta}$ 的值。

解 - 我們知道 $\mathrm{\tan\:\theta}$ 和 $\mathrm{\sec\:\theta}$ 之間的關係為

$$\mathrm{\sec^{2}\:\theta\:=\:1\:+\:\tan^{2}\:\theta}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\tan^{2}\:\theta\:=\sec^{2}\:\theta\:-\:1}$$

已知 $\mathrm{\sec\theta}$ 的值，現在將此值代入上式，

$$\mathrm{\Rightarrow\:\tan^{2}\theta\:=\:2^{2}\:-\:1}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\tan^{2}\theta\:=\:4\:-\:1}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\tan^{2}\theta\:=\:3}$$

$$\mathrm{\tan\theta\:=\:\sqrt{3}}$$

例 8 - 使用正割函式求 secA 的值

解 - 在此圖中，底邊、高和斜邊的值分別為 24、7 和 25。

我們知道 $\mathrm{\sec\:A\:=\:\frac{25}{24}}$

例 9 - 當 $\mathrm{\sec\:\theta\:=\:2}$ 時，求 $\mathrm{\cos\:\theta}$ 的值

解 - 我們知道 $\mathrm{\sec\:\theta\:=\:\frac{1}{\cos\:\theta}\:=\:\frac{斜邊}{底邊}\:=\:\frac{斜邊}{底邊}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:cos\:\theta\:=\:\frac{1}{\sec\:\theta}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:cos\:\theta\:=\:\frac{1}{2}}$

結論

0 度角的正割三角函式值（正割 0 度）為 1。在直角三角形中，斜邊長度與底邊長度的比值稱為正割函式或 sec 函式。它也可以寫成

$\mathrm{\sec\:\theta\:=\:\frac{1}{\cos\:\theta}\:=\:\frac{斜邊}{底邊}}$，因為它餘弦函式的倒數。

常見問題

1. 三角學是什麼意思？

三角學是數學的一個分支，研究直角三角形邊與角的比值之間的關係。

2. sec 函式是什麼意思？

在三角學中，正割函式是週期性的。在直角三角形中，斜邊長度與底邊長度的比值稱為正割函式或 sec 函式

3. cos 和 sec 函式之間有什麼關係？

正割函式也寫作 $\mathrm{\sec\:\theta\:=\:\frac{1}{\cos\:\theta}\:=\:\frac{斜邊}{鄰邊}}$，因為它餘弦函式的倒數。

4. 正割函式在 0 度時的值是多少？

0 度角的正割三角函式值（Sec 0 度）為 1。

5. 求正割函式的奇偶性？

正割函式是偶函式，因為對於所有 x，$\mathrm{\sec(-x)\:=\:\sec\:x}$