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法律研究謂詞演算的推理規則
為了從我們已知真值的語句中推匯出新的語句，我們使用**推理規則**。
推理規則有什麼用？
數學邏輯常用於邏輯證明。證明是有效的論證，用於確定數學語句的真值。
論證是一系列語句。最後一個語句是結論，所有其前面的語句稱為前提（或假設）。符號“∴”（讀作因此）放在結論之前。有效論證是指結論遵循前提真值的論證。
推理規則為從我們已經擁有的語句構建有效論證提供了模板或指導原則。
推理規則表
| 推理規則 | 名稱 | 推理規則 | 名稱 |
|---|---|---|---|
| $$\begin{matrix} P \ \hline \therefore P \lor Q \end{matrix}$$ | 加法 | $$\begin{matrix} P \lor Q \ \lnot P \ \hline \therefore Q \end{matrix}$$ | 析取三段論 |
| $$\begin{matrix} P \ Q \ \hline \therefore P \land Q \end{matrix}$$ | 合取 | $$\begin{matrix} P \rightarrow Q \ Q \rightarrow R \ \hline \therefore P \rightarrow R \end{matrix}$$ | 假言三段論 |
| $$\begin{matrix} P \land Q\ \hline \therefore P \end{matrix}$$ | 簡化 | $$\begin{matrix} ( P \rightarrow Q ) \land (R \rightarrow S) \ P \lor R \ \hline \therefore Q \lor S \end{matrix}$$ | 構造性困境 |
| $$\begin{matrix} P \rightarrow Q \ P \ \hline \therefore Q \end{matrix}$$ | 肯定前件 | $$\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \ \lnot Q \lor \lnot S \ \hline \therefore \lnot P \lor \lnot R \end{matrix}$$ | 破壞性困境 |
| $$\begin{matrix} P \rightarrow Q \ \lnot Q \ \hline \therefore \lnot P \end{matrix}$$ | 否定後件 |
加法
如果 P 是一個前提，我們可以使用加法規則推匯出 $ P \lor Q $。
$$\begin{matrix} P \ \hline \therefore P \lor Q \end{matrix}$$
示例
令 P 為命題，“他學習非常努力”為真
因此 - “要麼他學習非常努力，要麼他是一個非常差的學生。” 這裡 Q 是命題“他是一個非常差的學生”。
合取
如果 P 和 Q 是兩個前提，我們可以使用合取規則推匯出 $ P \land Q $。
$$\begin{matrix} P \ Q \ \hline \therefore P \land Q \end{matrix}$$
示例
令 P - “他學習非常努力”
令 Q - “他是班上最好的男孩”
因此 - “他學習非常努力，並且他是班上最好的男孩”
簡化
如果 $P \land Q$ 是一個前提，我們可以使用簡化規則推匯出 P。
$$\begin{matrix} P \land Q\ \hline \therefore P \end{matrix}$$
示例
“他學習非常努力，並且他是班上最好的男孩”，$P \land Q$
因此 - “他學習非常努力”
肯定前件
如果 P 和 $P \rightarrow Q$ 是兩個前提，我們可以使用肯定前件推匯出 Q。
$$\begin{matrix} P \rightarrow Q \ P \ \hline \therefore Q \end{matrix}$$
示例
“如果你有密碼，那麼你可以登入 Facebook”，$P \rightarrow Q$
“你有密碼”，P
因此 - “你可以登入 Facebook”
否定後件
如果 $P \rightarrow Q$ 和 $\lnot Q$ 是兩個前提，我們可以使用否定後件推匯出 $\lnot P$。
$$\begin{matrix} P \rightarrow Q \ \lnot Q \ \hline \therefore \lnot P \end{matrix}$$
示例
“如果你有密碼，那麼你可以登入 Facebook”，$P \rightarrow Q$
“你無法登入 Facebook”，$\lnot Q$
因此 - “你沒有密碼”
析取三段論
如果 $\lnot P$ 和 $P \lor Q$ 是兩個前提，我們可以使用析取三段論推匯出 Q。
$$\begin{matrix} \lnot P \ P \lor Q \ \hline \therefore Q \end{matrix}$$
示例
“冰淇淋不是香草味的”，$\lnot P$
“冰淇淋要麼是香草味的，要麼是巧克力味的”，$P \lor Q$
因此 - “冰淇淋是巧克力味的”
假言三段論
如果 $P \rightarrow Q$ 和 $Q \rightarrow R$ 是兩個前提，我們可以使用假言三段論推匯出 $P \rightarrow R$
$$\begin{matrix} P \rightarrow Q \ Q \rightarrow R \ \hline \therefore P \rightarrow R \end{matrix}$$
示例
“如果下雨，我就不去上學”，$P \rightarrow Q$
“如果我不去上學，我就不需要做作業”，$Q \rightarrow R$
因此 - “如果下雨，我就不需要做作業”
構造性困境
如果 $( P \rightarrow Q ) \land (R \rightarrow S)$ 和 $P \lor R$ 是兩個前提，我們可以使用構造性困境推匯出 $Q \lor S$。
$$\begin{matrix} ( P \rightarrow Q ) \land (R \rightarrow S) \ P \lor R \ \hline \therefore Q \lor S \end{matrix}$$
示例
“如果下雨，我會請假”，$( P \rightarrow Q )$
“如果外面很熱，我會去衝個澡”，$(R \rightarrow S)$
“要麼會下雨，要麼外面很熱”，$P \lor R$
因此 - “我會請假或者我會去衝個澡”
破壞性困境
如果 $(P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S)$ 和 $ \lnot Q \lor \lnot S $ 是兩個前提，我們可以使用破壞性困境推匯出 $\lnot P \lor \lnot R$。
$$\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \ \lnot Q \lor \lnot S \ \hline \therefore \lnot P \lor \lnot R \end{matrix}$$
示例
“如果下雨，我會請假”，$(P \rightarrow Q )$
“如果外面很熱，我會去衝個澡”，$(R \rightarrow S)$
“要麼我不會請假，要麼我不會去衝個澡”，$\lnot Q \lor \lnot S$
因此 - “要麼不下雨，要麼外面不熱”
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