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法律研究多元微積分
介紹
在工程領域，我們經常遇到各種系統，其中過程依賴於多個變數。
在這種情況下，系統的最佳化和設計需要涉及多個變數。
在這個方向上，多元微積分發揮著重要作用。它有著廣泛的應用，從經濟學到科學領域。
在本教程中，我們將學習多元微積分及其各種運算（例如**極限、連續性、偏導數**和**積分**），並透過已解決的示例進行說明。
什麼是多元微積分
多元微積分是微積分的一個擴充套件主題，包括多變數函式。
所有微積分運算都針對多個變數而不是單個變數進行。
它也被認為是高等微積分的基礎部分。
它被廣泛用於設計和最佳化動態系統。此外，它還應用於金融和工程中的迴歸分析。
多變數函式的極限和連續性
極限
我們知道，單變數函式的極限定義為當變數 y 接近 b 時，函式 g(y) 接近值 P。數學上，它可以表示為 $\mathrm{\displaystyle \lim \limits_{y \rightarrow b}g(y)=P}$
類似地，對於多個變數，極限定義為當變數 x、y 接近 (x0,y0) 時，函式 g(y) 接近值 P。數學上，它可以表示為 $\mathrm{\displaystyle \lim \limits_{x,y \rightarrow x_0,y_0}g(y)=P}$。
連續性
連續性是微積分的一個基本概念。
它被定義為函式，使得自變數的連續變化導致函式值的連續變化。
多變數函式的連續性可以類似於單變數函式來表示。
數學上，一個函式 (g(y)) 被認為是連續的，當且僅當它滿足以下條件。
函式 g(y) 可以被定義。
如果 $\mathrm{\displaystyle \lim \limits_{x,y \rightarrow x_0,y_0}g(y)=g(x_0,y_0)}$，則函式 g(y) 在 (x0,y0) 處連續。
偏導數
在微積分中，偏導數是指包含多個變數的函式相對於其中一個變數的導數，而其他變數保持不變。
它用於**向量**和**微分**微積分。
讓我們考慮一個多變數函式 g(x,y,z,....)。g 關於 x 的偏導數可以表示為 $\mathrm{g_x,g_x^ⵏ,∂_x g,D_x g,D_1 g,or\frac{\partial g}{\partial x}.}$
現在，我們將看到函式 g(x,y) 的偏導數公式。
偏導數公式 -
$\mathrm{g_x =\frac{\partial g}{\partial x}=\displaystyle \lim \limits_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h,y)-g(x,y)}{h} }$（g(x,y) 關於 x 的偏導數）
類似地，$\mathrm{g_y =\frac{\partial g}{\partial y}=\displaystyle \lim \limits_{h \rightarrow 0}\frac{g(x,y+h)-g(x,y)}{h} }$（g(x,y) 關於 y 的偏導數）
與微分類似，偏導數中也使用了四種類型的規則。
乘積法則
商法則
鏈式法則
冪法則
多元積分
在多元微積分中，多元積分是指包含多個變數的函式的定積分。函式 g(x,y) 在區域 R 上的積分稱為**二重積分**。
數學上，它可以表示為
$$\mathrm{\int\int_{R} g(x,y)dx dy}$$
類似地，函式 g(x,y,z) 在區域 R 上的積分稱為**三重積分**。
數學上，它可以表示為
$$\mathrm{\int\int_{R} g(x,y,z)dx\: dy\: dz}$$
偏微分方程
偏微分方程是微分方程的獨特分類。
它被定義為包含多變數函式的偏微分的方程。
換句話說，它建立了多變數函式的各種偏導數之間的關係。
它的縮寫為 PDE。函式 g(x,y,z,...) 的 PDE 可以表示為 $\mathrm{\mathit{f}(x,y,....g,\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},...,\frac{\partial^2 g}{\partial x \: \partial x},\dotsm\dotsm)=0.}$
此外，函式 g(x,y,z,...) 的偏導數可以表示為
$$\mathrm{g_x=\frac{\partial g}{\partial x}}$$
$$\mathrm{g_{xx}=\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}}$$
$$\mathrm{g_{xy}=\frac{\partial^2 g}{\partial x\: \partial x}=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial g}{\partial x})}$$
數學中使用了各種型別的 PDE，例如
一階 PDE
線性 PDE
擬線性 PDE
齊次 PDE
已解決的示例
示例 1
求以下函式關於 x、y 和 z 的偏導數。
$$\mathrm{g=5x^2+2y^2-6z^3-7xyz}$$
解決方案
已知，
$$\mathrm{g(x,y,z)=5x^2+2y^2-6z^3-7xyz}$$
$$\mathrm{Now, \frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(5x^2+2y^2-6z^3-7xyz)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial x}=10x+0-0-7yz (y\: and\: z\: held\: constant)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial x}=10x-7yz}$$
$$\mathrm{\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(5x^2+2y^2-6z^3-7xyz)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial y}=0+4y-0-7xz (x\: and\: z\: held\: constant)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial y}=4y-7xz}$$
$$\mathrm{\frac{\partial g}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}(5x^2+2y^2-6z^3-7xyz)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial z}=0+0-18z^2-7xy (x\: and\: y\: held\: constant)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial z}=-18z^2-7xy}$$
示例 2
求 $\mathrm{∫ ∫(x^2 y+5x) dx\: dy.}$ 的二重積分值。
解決方案
$$\mathrm{ Let\: I=\int[\int(x^2 y+5x) dx] dy}$$
$$\mathrm{\Rightarrow I=\int[\int(x^2 y+5x) dx] dy}$$
$$\mathrm{\Rightarrow I=\int[\frac{x^3 y}{3} +\frac{5x^2}{2}] dy}$$
$$\mathrm{\Rightarrow I=\frac{x^3 y^2}{6} +\frac{5x^3}{6}+c}$$
$\mathrm{\Rightarrow I=\frac{x^3 y^2+5x^3}{6}+c}$（其中 c 是積分常數）
示例 3
證明如果 k 是常數，g(y,m)=sin (km) cos(y) 是
$$\mathrm{\frac{\partial^2 g}{\partial m^2}=k^2\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}}$$
解決方案
的解。
假設 g(y,m)=sin (km) cos(y) 是 $\mathrm{\frac{\partial^2 g}{\partial m^2}=k^2\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}}$ 的解。因此，函式 g 必須滿足上述方程。
$$\mathrm{\frac{\partial g}{\partial m}=\frac{\partial }{\partial m}(sin (km) cos(y))=k cos(km) cos(y)}$$
現在，$\mathrm{\frac{\partial^2 g}{\partial m^2}=\frac{\partial }{\partial m}(k cos(km) cos(y))=-k^2 sin(km) cosy\dotso\dotso\dotso(1)}$
$$\mathrm{\frac{\partial g}{\partial m}=\frac{\partial }{\partial y}(sin (km) cos(y))=-sin(km) siny}$$
現在， $\mathrm{\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}(-sin(km) siny)=-sin(km) cosy}$
將 k2 乘以上述表示式，我們將得到
$$\mathrm{k^2\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}=-k^2 sin(km) cosy\dotso\dotso\dotso\dotso(2)}$$
從等式 (1) 和等式 (2)，我們可以得出結論，g(y,m)=sin (km) cos(y) 是 $\mathrm{\frac{\partial^2 g}{\partial m^2}=k^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}}$ 的解。
結論
本教程簡要介紹了多元微積分及其各個子主題。本教程概述了偏導數、積分和偏微分方程。此外，還提供了一些已解決的示例，以更好地理解這一概念。總之，本教程可能有助於理解多元微積分的基本概念。
常見問題
1.偏微分方程的階數是什麼意思？
微分方程中最高階導數項的階數稱為偏微分方程的階數。例如，考慮一個 PDE
$\mathrm{\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial z}=yz-2.}$ 最高階導數項的階數為 1；給定的 PDE 稱為一階 PDE。
2.多元積分的應用是什麼？
二重積分通常用於確定有界區域的表面積，三重積分用於計算物體的體積。
3.偏微分方程的次數是什麼？
微分方程中最高階導數項的次數稱為偏微分方程的次數。例如，考慮一個 PDE
$\mathrm{\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial z}=yz-2.}$ 最高階導數項的次數為 1。
4.多元微積分有哪些應用？
多元微積分的應用包括設計和最佳化動態系統。此外，它還應用於金融和工程中的迴歸分析。
5.我們可以確定多變數函式的最大值和最小值嗎？
更新於： 2024-03-06
