微積分

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微積分有兩個主要分支：微分學和積分學。微分學是處理極限、連續性、導數和可微性的微積分分支。連續性定義為函式具有非斷裂圖形的性質，即函式的極限存在於域中的所有點，而可微性是函式在其域中所有點都具有導數的性質。而積分學是處理積分和函式曲線下面積的微積分分支。積分是微分的完全相反，在定義的極限內對函式進行積分會給出函式曲線下的面積。

在本教程中，我們將學習微積分、其分支和型別，以及它在現實生活中的應用。

微分學

在微分學中，學習極限和連續性以及微分和可微性等主題。

極限 - 函式的極限定義為當自變數接近域中特定點時函式逼近的值。

$$\mathrm{\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)}$$

如果從函式左側和右側逼近的值相等且等於該點處函式的值，則函式的極限存在。

$$\mathrm{\lim_{x \rightarrow a^{-}}f(x)\:=\:f(a)\:=\:\lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x)}$$

左極限 = 函式值 = 右極限

連續性 - 如果函式的極限存在於函式的整個域中，則稱該函式是連續的。

導數 - 導數定義為函式/因變數相對於自變數/自變數的變化率。

$$\mathrm{f'(x)=\frac{d(f(x))}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)-f(x)}{x+h-x}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

注意：此公式稱為導數的第一原理。

如果函式的左導數和右導數相等，則稱該函式的導數存在。

可微性 - 如果函式的導數存在於函式的整個域中，則稱該函式是可微的。

積分學

在積分學中，學習定積分和不定積分等主題。

定積分 - 如果在給定的有限區間內計算函式的積分，則該積分稱為定積分。

$$\mathrm{\int_a^bf(x)=F(b)-F(a)\:\: (一個固定的數值)}$$

不定積分 - 從數學上來說，這些積分與導數完全相反。它們不在任何特定區間內，並且會產生一個函式，該函式的導數會產生原始函式。

$$\mathrm{\int f(x)=F(x)+C}$$

注意：新增常數 C 用於補償原始函式中可能存在的任何常數，因為常數的導數為 0。

一元微積分

一元微積分是隻有一個因變數和一個自變數的微積分的研究。

注意：只有一個自變數是它被稱為一元微積分的原因。

上面討論的所有公式都屬於一元微積分。

多元微積分

在多元微積分中，存在多個自變數。

多元微積分中的公式與一元微積分略有不同。

• 極限 - 多元微積分中的極限由函式在變數達到多維空間中的座標點而不是軸上的數字時逼近的值來定義。

  示例：對於 2 個自變數，

  $$\mathrm{\lim_{x,y \rightarrow x_o,y_o} f(x,y)}$$

• 導數（偏導數） - 導數變為偏導數，因為一個自變數的變化會比其他自變數以不同的方式改變因變數，因此每個自變數都有不同的偏導數。

  示例：對於因變數 z 和 2 個自變數 x 和 y

  z 關於 x 的偏導數 = $\mathrm{\frac{δz}{δx}}$

  z 關於 y 的偏導數 = $\mathrm{\frac{δz}{δy}}$

  z 關於 x 和 y 的偏導數 = $\mathrm{\frac{δ^2 z}{δxδy}}$

  z 關於 y 和 x 的偏導數 = $\mathrm{\frac{δ^2 z}{δyδx}}$

  注意：$\mathrm{\frac{δ^2 z}{δxδy}}$ 和 $\mathrm{\frac{δ^2 z}{δyδx}}$ 不是一回事，第一個是 z 關於 x 的偏導數，然後是結果關於 y 的偏導數，而第二個是 z 關於 y 的偏導數，然後是結果關於 x 的偏導數。

• 積分 - 與導數類似，多元微積分中的積分也不完整。但最常見的是：

  $\mathrm{\int \int f. dx.dy}$（先對 x 積分，然後對 y 積分），這與以下內容不同：

  $\mathrm{\int d[\int f.dy.]dx}$（先對 y 積分，然後對 x 積分）

  注意：極限也可以用於計算多元積分中的定積分，需要注意的是，第一個定積分的極限在第二個積分的變數中。

導數和積分的應用

導數的應用 - 導數主要用於幾何、經濟學、函式研究（代數）和最佳化問題。

• 查詢一個引數相對於另一個引數的變化率。

• 查詢函式的遞增和遞減性質。

• 查詢近似值。

• 找到方程切線和法線的方程。

• 找到函式的最大值和最小值以及這些最大值/最小值出現的自變數的值。

• 透過利用輸入來最佳化輸出。

積分的應用 - 積分主要用於查詢函式曲線下的面積或求解微分方程，這是各種現實世界場景中的主要工具，例如人口問題、放射性問題、增長和衰減問題等。

結論

在本教程中，我們學習了微積分、其分支微分學和積分學、微分學和積分學的不同術語和方面，以及微分學和積分學在現實生活中的應用。

常見問題

1. 什麼是微積分？

微積分是處理研究函式與其自變數或因變數和自變數之間關係的數學分支。

2. 什麼是導數？

導數定義為函式或因變數相對於自變數或自變數的變化率。

3. 函式的連續性是什麼意思？

連續性定義為函式的性質，即函式的圖形是連續的，在其域的任何點都沒有斷點或空洞。

4. 定積分和不定積分有什麼區別？

不定積分定義為導數的數學反義詞。它們產生一個函式，其導數將產生原始函式。

另一方面，定積分定義為給定區間內函式曲線下的面積。它產生一個實數值。

5. 求$\mathrm{f(x)=3x^2-sin x+\frac{4}{x}}$關於 x 的導數和積分。

導數：

我們知道 xⁿ 的導數是 nx^n-1，sin x 的導數是 cos x。

$$\mathrm{f'(x)=\frac{d}{dx}(f(x))=6x-cos x-\frac{4}{x^2} }$$

積分：

我們知道 $\mathrm{\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}, \int \frac{1}{x} dx=log x, and \int sin x⋅dx=-cos x }$

$$\mathrm{F(x)=\int f(x)⋅dx=x^3+cos x+4log x+C }$$