自反關係

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介紹

自反關係是集合元素之間的一種關係，其中每個元素都與集合中的其他元素相關。顧名思義，集合的每個組成部分都有一個自身的反身像。在集合論中，自反關係是一個重要的概念。“是…的子集”關係在一個集合的集合上就是一個自反關係的例子，因為每個集合都是它自身的子集。

在離散數學中，我們探索各種關係，包括自反的、傳遞的、對稱的等等。在本課中，我們將理解自反關係的概念以及計算有多少自反關係的公式，並透過一些已解決的例子來說明。

什麼是關係？

在數學中，兩個集合的組成部分之間的對映稱為關係。它們有助於將一個集合（定義域）中的元素對映到另一個集合（值域）中的元素，從而產生(輸入, 輸出)型別的有序對。

假設X和Y是兩個集合。設x是集合X中的一個元素，y是集合Y中的一個元素。則所有可能的有序對(x, y)的集合構成了X和Y的笛卡爾積，記作$\mathrm{X\:\times\:Y}$。換句話說，關係說明每個輸入都將產生一個或多個輸出。

例如 - 假設有兩個集合，X = { 5, 37, 50, 51 } 和 Y ={ 1, -3, -7, -8, 8, 7, 3 }。可以用有序對來表示關係，例如“(x, y)屬於關係R”，R = {(5, -3), (5, 3), (37, -7), (37, 7), (50, -8), (50, 8)}。

關係的型別

共有八種不同型別的關係，包括：

• 空關係

• 全關係

• 恆等關係

• 逆關係

• 自反關係

• 對稱關係

• 傳遞關係

• 等價關係

自反關係

如果對於在集合A上定義的二元關係R中的每一個元素‘a’，都有aRa，或$\mathrm{\lgroup\:a\:,\:a\:\rgroup\varepsilon\:R}$，則該關係被稱為自反關係。根據定義，在一個集合上定義的關係是自反關係，當且僅當該集合的每個元素都與其自身相關。如果集合包含一個不與其自身相關的單個元素，則R不是自反關係。例如，如果對於$\mathrm{b\:\varepsilon\:A}$，b不與其自身相關（表示為$\mathrm{\lgroup\:b\:,\:b\:\rgroup\varepsilon\:R}$ 或“非bRb”），則R不是自反的。

$\mathrm{I_{A}\:=\:\lbrace\:\lgroup\:a\:,\:a\:\rgroup\:\colon\:a\:\varepsilon\:A\:\rbrace}$是另一種在集合A上表示自反關係的方式，其中$\mathrm{I_{A}\:\subseteq\:R}$，而R是在集合A上定義的關係。

讓我們來看一個例子。假設$\mathrm{}A\:=\:\lbrace\:a\:,\:b\:,\:c\:,\:d\:,\:e\:\rbrace$，並且R是在A上定義的關係，$\mathrm{R\:=\:\lbrace\:(a\:,\:a)\:,\:(b\:,\:c)\:,\:(d\:,\:e)\:,\:(c\:,\:e)\:,\:(b\:,\:b)\:,\:(c\:,\:c)\:,\:(d\:,\:d)\:,\:(e\:,\:e)\:\rbrace}$。由於$\mathrm{\:(a\:,\:a)\:,\:(b\:,\:b)\:,\:(c\:,\:c)\:,\:(d\:,\:d)\:,\:and\:(e\:,\:e)\:\varepsilon\:R}$，A的每個元素都與其自身相關，因此R是一個自反關係。

在一個有'n'個元素的集合上，自反關係的數量由下式給出：

$$\mathrm{N\:=\:2^{n\:(n\:-\:1)}}$$

其中n是集合中元素的數量，N是自反關係的數量。

自相關元素

自反關係是這樣一種關係，其中每個元素都對映到自身。“每個元素都與其自身相關”。

設R是在集合A上定義的關係。給定R是一個自反關係，

$$\mathrm{R\:=\:\lbrace\:\lgroup\:a\:,\:a\:\rgroup\:/\:for\:all\:a\:\varepsilon\:A\:\rbrace}$$

這意味著A的每個元素都必須與其自身相關。

例如，如果A= { 2, 4, 6 }，並且在集合A上定義的R為R = { (2, 2), (4, 4), (6, 6) }。當我們檢視R的有序對時，我們發現以下關係。

$\mathrm{(2\:,\:2)\:-------->\:2}$ 2與2相關

$\mathrm{(4\:,\:4)\:-------->\:4}$ 4與4相關

$\mathrm{(6\:,\:6)\:-------->\:6}$ 6與6相關

這就是A的每個元素都與其自身相關的方式，因此集合A的所有元素都是我們的自相關元素。

已解決的例子

1) 當且僅當3a + 7b能被10整除時，在整數集Z上定義關係R為aRb。驗證R的自反性。

答案 -

對於$\mathrm{a\:\varepsilon\:Z}$，$\mathrm{3a\:+\:7a\:=\:10a}$，能被10整除。

$\mathrm{\Longrightarrow\:aRa.}$ 由於a可以是Z的任何元素，因此對於所有$\mathrm{a\:\varepsilon\:Z}$，$\mathrm{\lgroup\:a\:,\:a\:\rgroup\:\varepsilon\:R}$。

因此，R是一個自反關係。

因此，當且僅當$\mathrm{3a\:+\:7b}$能被10整除時，在Z上定義的關係R為aRb是自反的。

2) 如果且僅當$\mathrm{a\geq\:b}$時，在自然數集N上定義關係R為aRb。檢查R是否是自反關係。

答案 -

答案是：對於$\mathrm{a\:\varepsilon\:N}$，$\mathrm{a\:=\:a}$滿足$\mathrm{a\geq\:a}$。

$\mathrm{\Longrightarrow\:aRa.}$ 由於a是N的任意元素，所以對於所有$\mathrm{a\:\varepsilon\:N}$，$\mathrm{\lgroup\:a\:,\:a\:\rgroup\:\varepsilon\:R}$，因為a是N的任意元素。

因此，R是自反的。

3: 考慮集合A，其中關係R定義為'xRy當且僅當$\mathrm{3x\:+\:5y}$能被4整除，對於$\mathrm{x\:,\:y\:\varepsilon\:A}$。證明R是集合A上的自反關係。

答案 -

假設$\mathrm{x\:\varepsilon\:A}$

由於$\mathrm{3x\:+\:5x\:=\:8x}$，它能被4整除。

對於所有x，xRx都成立。

因此，R是自反的。

結論

• 在數學中，兩個集合的組成部分之間的對映稱為關係。

• 關係有助於將一個集合（定義域）中的元素對映到另一個集合（值域）中的元素，從而產生(輸入, 輸出)型別的有序對。

• 如果對於在集合A上定義的二元關係R中的每一個元素‘a’，都有aRa，或$\mathrm{\lgroup\:a\:,\:a\:\rgroup\:\varepsilon\:R}$，則該關係被稱為自反關係。

• $\mathrm{I_{A}\:=\:\lbrace\:\lgroup\:a\:,\:a\:\rgroup\:\colon\:a\:\varepsilon\:A}$是另一種在集合A上表示自反關係的方式，其中$\mathrm{I_{A}\:\subseteq\:R}$，而R是在集合A上定義的關係。

• 如果集合包含一個不與其自身相關的單個元素，則R不是自反關係。

• 在一個有'n'個元素的集合上，自反關係的數量由下式給出：

$$\mathrm{N\:=\:2^{n\:(n\:-\:1)}}$$

其中n是集合中元素的數量，N是自反關係的數量。

常見問題

1. 數學中的“關係”是什麼意思？

在數學中，兩個集合的組成部分之間的對映稱為關係。它們有助於將一個集合（定義域）中的元素對映到另一個集合（值域）中的元素，從而產生(輸入, 輸出)型別的有序對。

2. 關係方程是什麼？

當關系被表示為方程時，就會產生關係方程。關係方程的一個例子是$\mathrm{y\:=\:x^{2}}$。該關係的圖形將看起來像拋物線。

3. 如何計算自反關係的數量？

在一個有'n'個元素的集合上，自反關係的數量由下式給出：

$$\mathrm{N\:=\:2^{n\:(n\:-\:1)}}$$

其中n是集合中元素的數量，N是自反關係的數量。

4. 自反關係的數學概念是什麼意思？

如果對於在集合A上定義的二元關係R中的每一個元素a，都有aRa，或$\mathrm{\lgroup\:a\:,\:a\:\rgroup\:\:\varepsilon\:R}$，則該關係被稱為自反關係。根據定義，在一個集合上定義的關係是自反關係，當且僅當該集合的每個元素都與其自身相關。

5. 不自反關係和自反關係有什麼區別？

如果集合的每個元素都與其自身相關，則A上的二元關係被稱為自反關係。如果集合A中至少有一個元素不與其自身相關，則在該集合上定義的關係R被稱為非自反關係。