倒數

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引言

“倒數”表示反比關係。在分數中，求倒數意味著將分子和分母互換位置。為了驗證倒數是否正確，可以將倒數與原數相乘，結果總是等於1。或者，如果兩個數相乘等於1，則它們互為倒數。分數的除法只能透過求倒數或乘法逆元來進行。

數

“數”這個詞表示計數、測量或數量，用數字、文字或符號表示。數在不同的位置有不同的表示形式。數主要分為兩大類：

$$實數和複數$$

一些數的型別如下：

• 自然數是實數，是計數數。

例如 - 1, 2, 3, 4, 5, .....

• 整數是自然數加上零。

例如 - 0, 1, 2, 3, 4, 5….

• 整數是整數加上負數。

例如 - -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .....

• 分數是用分子和分母表示的數。

例如 − $\mathrm{\frac{4}{5},\:\frac{65}{74},\:\frac{17}{23},\:......}$

• 有理數是以p/q形式表示的數，其中q不等於0。

例如 − $\mathrm{\frac{1}{100},\:\frac{5}{6},\:\frac{13}{2},\:.......}$

• 無理數是除有理數之外的所有實數。

例如 − $\mathrm{\sqrt{5},\sqrt{13},\sqrt{9949}}$

• 實數，上述所有數都屬於實數。

例如 −$ \mathrm{2\:,\:-5\:,\:\frac{4}{17}\:,\sqrt{3}}$

• 複數是實數和虛數相加的結果。

例如 −$\mathrm{3\:+\:2i\:,\:5\:-\:4i\:......}$

• 小數是具有整數部分和小數部分的實數，兩者用點號隔開。

例如 −$\mathrm{2.34\:,\:56.7\:.........}$

倒數或乘法逆元

一個數的倒數也稱為乘法逆元。倒數用於分數的除法、垂直線、反比例等等。為了求解未知變數，必須將等式中所有其他值取倒數移到等式的另一側。為了表示x的倒數，可以用其逆元𝑥−1表示，即1/x。如果兩個數互為倒數，則這兩個數相乘的結果為1。我們可以用數字系統將每種型別的數表示成其倒數形式。

數的型別	例子	倒數
自然數	$\mathrm{11,\:52,\:23,\:14}$	$\mathrm{\frac{1}{11},\:\frac{1}{52},\:\frac{1}{23},\:\frac{1}{14}}$
整數	$\mathrm{-1,\:-2,\:-4,\:15}$	$\mathrm{-\frac{1}{1},\:-\frac{1}{2},\:-\frac{1}{4},\:\frac{1}{15}}$
分數	$\mathrm{\frac{5}{7},\:\frac{13}{17},\:\frac{24}{27},\:\frac{56}{19}}$	$\mathrm{\frac{7}{5},\:\frac{17}{13},\:\frac{27}{24},\:\frac{19}{56}}$
有理數	$\mathrm{3.5\:,\:\frac{6}{11}\:,\:-0.25}$	$\mathrm{\frac{1}{3.5}\:or\:\frac{2}{7},\:\frac{11}{6},\:\frac{1}{-0.25}\:or\:-4}$
無理數	$\mathrm{\sqrt{10}\:\sqrt{8},\:-9.94}$	$\mathrm{\frac{1}{\sqrt{10}},\:\frac{1}{\sqrt{8}},\:-\:\frac{1}{9.94}}$
實數	$\mathrm{-15,\:1,\:\frac{2}{7},\:\sqrt{5}}$	$\mathrm{-\frac{1}{15},\:1,\:\frac{7}{2},\:\frac{1}{\sqrt{5}}}$
複數	$\mathrm{\frac{3}{2\:-\:3i}}$	$\mathrm{\frac{1}{2\:-\:3i}\:\times\:\frac{2\:+\:3i}{2\:+\:3i}=\frac{2\:+\:3i}{4\:-\:9i^{2}}}$
小數	$\mathrm{0.45,\:-2.34}$	$\mathrm{\frac{1}{0.45},\:-\:\frac{1}{2.34}\:or\:-0.427}$

分數

分數表示整體或完整集合的一部分或一部分。分數是將整體或集合分成許多相等的小部分。分數有不同的型別。它們是**相同分數、不同分數、真分數、假分數、等價分數**和**帶分數**。在分數中，我們可以進行加、減、乘、除運算。相同分母的加減法很容易計算，只需取共同分母並簡單地相加分子即可。如果不是，則透過取分母的最小公倍數 (LCM)，我們可以將它們轉換為相同的分母。要將分數與相同或不同分母相乘，只需將分子乘以另一個分子，將分母乘以另一個分母即可。

分數的除法

分數本身就是一種除法形式。分數的除法是將分數進一步分解成更小的部分。有三種方法可以除分數。它們是面積模型、數軸和演算法。演算法方法如下。除分數需要四個步驟。步驟如下。

• 分數可以透過取給定數的乘法逆元來除。

• 分子乘以反轉的分子。

• 分母乘以另一個分母。

• 取最大公約數 (HCF) 以找到最簡形式。

考慮將$\mathrm{\frac{1}{2}}$塊蛋糕分給4個孩子。$\mathrm{\frac{1}{2}}$除以4。

即，$\mathrm{\frac{1}{2}\:\div\:4\:=\:\frac{1}{2}\:\times\:\frac{1}{4}\:=\:\frac{1}{8}}$

在這裡，$\mathrm{\frac{1}{2}}$份蛋糕可以分成$\mathrm{\frac{1}{8}}$份，平均分給4個孩子。

例題

計算分數$\mathrm{\frac{5}{6}\:\div\:\frac{7}{2}}$

解答

取乘法逆元，

$$ \mathrm{\frac{5}{6}\:\div\:\frac{7}{2}\:=\:\frac{5}{6}\:\times\:\frac{2}{7}} $$

將分子和分母相乘，

$\mathrm{=\:\frac{5\:\times\:2}{6\:\times\:7}\:=\:\frac{10}{42}}$

(10, 42) 的最大公約數 (HCF) = 2

$$ \mathrm{\frac{10}{42}\:\div\:\frac{2}{2}\:=\:\frac{5}{21}} $$

2. 計算帶分數$\mathrm{7\:\frac{3}{5}\:\div\:6\frac{4}{2}}$

解答

$$ \mathrm{7\:\frac{3}{5}\:\div\:6\frac{4}{2}\:=\:\frac{38}{5}\:\div\:\frac{16}{2}} $$

取乘法逆元

$$ \mathrm{\frac{38}{5}\:\div\:\frac{16}{2}\:=\:\frac{38}{5}\:\times\:\frac{2}{16}} $$

將分子和分母相乘

$\mathrm{=\:\frac{38\:\times\:2}{5\:\times\:16}\:=\:\frac{76}{80}}$

(76, 80) 的最大公約數 (HCF) = 4

$$ \mathrm{\frac{76}{80}\:\div\:\frac{4}{4}\:=\:\frac{19}{20}} $$

3. 海蒂有$\mathrm{\frac{13}{21}}$份西瓜。她想分給家人$\mathrm{\frac{2}{3}}$份。海蒂可以分給家人多少塊西瓜？

解答

取乘法逆元

$$ \mathrm{\frac{13}{21}\:\div\:\frac{2}{3}\:=\:\frac{13}{21}\:\times\:\frac{3}{2}} $$

將分子和分母相乘，

$$ \mathrm{\frac{13}{21}\:\times\:\frac{3}{2}\:=\:\frac{13\:\times\:3}{21\:\times\:2}\:=\:\frac{39}{42}} $$

(39, 42) 的最大公約數 (HCF) = 3

$$ \mathrm{\frac{39}{42}\:\div\:\frac{3}{3}\:=\:\frac{13}{14}} $$

海蒂可以分給家人$\mathrm{\frac{13}{14}}$塊西瓜。

結論

一個數的倒數乘以該數等於1。不同型別的數，如自然數、整數、分數、有理數、無理數和複數的倒數，都是透過取乘法逆元得到的。要除以帶分數，必須將帶分數轉換為假分數，然後取乘法逆元除以第二個分數。要除分數，第一步是取除數的乘法逆元，並將其與被除數相乘，透過取分子和分母的最大公約數 (HCF)，我們可以得到分數作為解。

常見問題

1. 我們能用不同分母的帶分數進行除法嗎？

是的，可以透過取乘法逆元將帶分數轉換為假分數來進行除法。然後，透過將分子和分母相乘並取最大公約數 (HCF)，我們可以得到帶分數的最簡形式。由於帶分數中至少包含一個整數，因此它不能轉換為真分數。

2. 是否可以除以兩個假分數？

是的，要除以一個數，第一步是取乘法逆元，然後將分子和分母相乘。只有在加法和減法中，分母才需要相同。

3. $\mathrm{3\:\frac{4}{5}}$的倒數是多少？

要找到帶分數的倒數，請將帶分數轉換為假分數。

即，$\mathrm{3\:\frac{4}{5}\:=\:\frac{19}{5}}$，則$\mathrm{\frac{19}{5}}$的倒數是$\mathrm{\frac{5}{19}}$

4. 我們能取0的倒數嗎？

不，我們不能取0的倒數，即0/1，這會產生不確定的值。我們可以取除0以外的任何實數的倒數。

5. 如何將負指數表示為正分數？

要轉換負指數，透過取乘法逆元，負指數轉換為正分數。