反三角函式的性質

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簡介

反三角函式的性質與其值域和定義域相關。反三角函式被定義為一些基本三角函式（如正弦、餘弦、正切、正割、餘割和餘切函式）的反函式。反三角函式也稱為弧函式和反圓函式。這些反三角函式表示式允許您根據任何三角函式比找到任何角度。這些表示式源自三角函式的性質。它表示為：

$$\mathrm{\sin^{-1}\:,\:\cos^{-1}\:,\:\sec^{-1}\:,\:cosec^{-1}\:,\:\cot^{-1}\:,\:and\:\tan^{-1}}$$

反三角函式也稱為弧函式和反圓函式。您將使用這些反三角函式表示式根據任何三角函式比找到任何角度。在本教程中，我們將討論反三角函式的性質。

三角函式

三角函式和恆等式是直角三角形的邊角比。在三角函式中，使用六個基本三角函式。這些函式是三角函式。六個基本三角函式分別是正弦函式、餘弦函式、正割函式、餘割函式、正切函式和餘切函式。直角三角形的邊分別是垂直邊、斜邊和底邊，用於根據公式計算正弦、餘弦、正切、正割、餘割和餘切的值。

反三角函式

基本圓函式（三角函式）的反函式稱為反三角函式。反三角函式與基本三角函式密切相關，作為學習主題。在數學中，反三角函式（也稱為弧函式、反三角函式或反圓函式）是三角函式的反函式（相應定義的定義域是有限的）。反三角函式表示為：$\mathrm{\sin^{-1}\:,\:\cos^{-1}\:,\:\sec^{-1}\:,\:cosec^{-1}\:,\:\cot^{-1}\:,\:and\:\tan^{-1}}$ 反三角函式包含基本三角函式的所有表示式。

反三角函式的性質

基本性質有助於我們解決問題。一些重要的性質如下：

• 對於 x 的反函式，反三角函式將提供的反三角函式轉換為其反函式。這來自迴圈函式，其中正弦和餘割是倒數，正切和餘切是倒數，因此餘弦和正割是倒數。或者，反正弦、反餘弦和反正切的反三角函式表示式通常寫成：

$$\mathrm{\sin^{-1}\:=\:cosec^{-1}(\frac{1}{x})\:where\:x\:\varepsilon\:[-1\:,\:1]\:-\:\lbrace\:0\:\rbrace}$$

$$\mathrm{\cos^{-1}\:=\:\sec^{-1}(\frac{1}{x})\:where\:x\:\varepsilon\:[-1\:,\:1]\:-\:\lbrace\:0\:\rbrace}$$

$$\mathrm{\tan^{-1}(x)\:=\:\cot^{-1}(\frac{1}{x})\:if\:x>0\:(or)\:\cot^{-1}(\frac{1}{x})\:-\pi\:,\:if\:x<0}$$

$$\mathrm{\cot^{-1}(x)\:=\:\tan^{-1}(\frac{1}{x})\:if\:x>0\:(or)\:\tan^{-1}(\frac{1}{x})\:+\pi\:,\:if\:x<0}$$

• 所有六個三角函式都適用於任意值的反三角函式表示式。對於反三角函式的正弦、正切和餘弦函式，負值轉換為負值。此外，對於餘割、正割和餘切定理函式，負值

$$\mathrm{\sin^{-1}(-x)\:=\:-\sin^{-1}(x)}$$

$$\mathrm{\tan^{-1}(-x)\:=\:-\tan^{-1}(x)}$$

$$\mathrm{\cos^{-1}(-x)\:=\:\pi\:-\cos^{-1}(x)}$$

$$\mathrm{\sec^{-1}(-x)\:=\:\pi\:-\:\sec^{-1}(x)}$$

$$\mathrm{\cot^{-1}(-x)\:=\:-cosec^{-1}(x)}$$

$$\mathrm{cosec^{-1}(-x)\:=\:-cosec^{-1}(x)}$$

• $\mathrm{\sin^{-1}(\frac{1}{x})\:=\:cosec^{-1}(x)\:where\:x\geq\:1\:or\:x\leq\:-1}$

$\mathrm{\cos^{-1}(\frac{1}{x})\:=\:\sec^{-1}(x)\:where\:x\geq\:1\:or\:x\leq\:-1}$

$\mathrm{\tan^{-1}(\frac{1}{x})\:=\:-\pi\:+\:\cot^{-1}(x)}$

• $\mathrm{\sin^{-1}(\cos\theta)\:=\:\frac{\pi}{2}\:-\:\theta\:,\:if\:\theta\:\varepsilon\:[0\:,\:\pi]}$

$$\mathrm{\cos^{-1}(\sin\theta)\:=\:\frac{\pi}{2}\:-\:\theta\:,\:\varepsilon\:[-\frac{\pi}{2}\:,\:\frac{\pi}{2}]}$$

$\mathrm{cosec^{-1}(\sec\theta)\:=\:\frac{\pi}{2}\:-\:\theta\:\varepsilon\:[0\:,\:\pi]\:-\:(\frac{\pi}{2})}$

$\mathrm{\sec^{-1}(cosec\theta)\:=\:\frac{\pi}{2}\:-\:\theta\:if\:\theta\:\varepsilon\:[-\frac{\pi}{2}\:,\:0]\:\cup\:[0,\:\frac{\pi}{2}]}$

$\mathrm{\cot^{-1}(\tan\theta)\:=\:\frac{\pi}{2}\:-\:\theta\:if\:\theta\:\varepsilon\:[-\frac{\pi}{2}\:,\:\frac{\pi}{2}]}$

$\mathrm{\tan^{-1}(\cot\theta)\:=\:\frac{\pi}{2}\:-\:\theta\:if\:\theta\:\varepsilon\:[0\:,\:\pi]}$

• 透過新增互餘的反三角函式可以得到直角。唯一的條件是 x 值在兩個互餘部分中必須相同，即反三角函式的互餘函式之和將等於 $\mathrm{\frac{\pi}{2}}$

$$\mathrm{\sin^{-1}(x)\:+\:\cos^{-1}(x)\:=\:\frac{\pi}{2}}$$

$$\mathrm{\tan^{-1}(x)\:+\:\cot^{-1}(x)\:=\:\frac{\pi}{2}}$$

$$\mathrm{\sec^{-1}(x)\:+\:cosec^{-1}(x)\:=\:\frac{\pi}{2}}$$

• 使用給定公式計算反三角函式的和與差。然後，您將使用這些反三角函式表示式來計算雙函式和三函式表示式。

$$\mathrm{\sin^{-1}(x)\:+\:\sin^{-1}(y)\:=\:\sin^{-1}[x\:\sqrt{1\:-\:y^{2}}\:+\:y\sqrt{1\:-\:x^{2}}]}$$

$$\mathrm{\cos^{-1}(x)\:+\:\cos^{-1}(y)\:=\:\cos^{-1}[xy\:-\:\sqrt{1\:-\:x^{2}}\sqrt{1\:-\:y^{2}}]}$$

上述公式已從反三角函式公式列表中編輯。此外，所有基本三角表達式都轉換為反三角表達式，並分類為上述四個表示式的集合。隨機值、倒數和互補函式、函式的和與差、雙函式和三函式。

定義域和值域

在數學中，反三角函式（也稱為弧函式、反三角函式或反圓函式）是反三角函式的反函式（相應定義的定義域是有限的）。反三角函式表示為：

$\mathrm{\sin^{-1}\:,\:\cos^{-1}\:,\:\sec^{-1}\:,\:cosec^{-1}\:,\:\cot^{-1}\:,\:and\:\tan^{-1}}$

序號	函式	值域	定義域
1	$\mathrm{y\:=\:\sin^{-1}(x)}$	$\mathrm{-\frac{\pi}{2}\:\leq\:y\:\leq\:\frac{\pi}{2}}$	$\mathrm{-1\:leq\:x\:\leq\:1}$
2	$\mathrm{y\:=\:\cos^{-1}(x)}$	$\mathrm{0\:\leq\:y\:\leq\:\pi}$	$\mathrm{-1\:leq\:x\:\leq\:1}$
3	$\mathrm{y\:=\:\tan^{-1}(x)}$	$\mathrm{-\frac{\pi}{2}\leq\:y\leq\:\frac{\pi}{2}}$	$\mathrm{x\varepsilon\:R}$
4	$\mathrm{y\:=\:\cot^{-1}(x)}$	$\mathrm{0\:<y\:<\pi}$	$\mathrm{x\:\varepsilon\:R}$
5	$\mathrm{y\:=\:cosec^{-1}(x)}$	$\mathrm{-\frac{\pi}{2}\leq\:y\leq\:\frac{\pi}{2}\:\:y\neq\:0}$	$\mathrm{x\:\leq\:-1\:or\:x\geq\:1}$
6	$\mathrm{y\:=\:\sec^{-1}(x)}$	$\mathrm{0\leq\:y\:\pi\:,\:y\neq\:\frac{\pi}{2}}$	$\mathrm{x\:\leq\:-1\:or\:x\geq\:1}$

導數

反三角函式通常表示為在三角字首中新增弧或新增 -1 的冪，如下所示：

例如：

我們將使用 arcsin 的示例。您可以使用任何其他反函式。

• $\mathrm{f(x)\:=\:arc\sin(x)}$

透過在兩邊“撤消”函式來求解 x。

$$\mathrm{x\:=\:\sin(f(x))}$$

對兩邊關於 x 求導。

$$\mathrm{1\:=\:\cos(f(x))\:f^{'}(x)}$$

除以求解 $\mathrm{f^{'}(x)}$

$$\mathrm{\frac{1}{\cos(f(x))}\:=\:f^{'}(x)}$$

替換 f(x)：

$$\mathrm{\frac{1}{\cos(f(x))}}$$

這基本上是答案，但有些人喜歡用直角三角形技術進一步簡化它

$$\mathrm{f^{'}(x)\:=\:\frac{1}{\sqrt{1\:-\:y^{2}}}\:=\:\frac{d}{dx}\sin^{-1}(x)}$$

• $\mathrm{f(x)\:=\:arc\tan(x)}$

透過在兩邊“撤消”函式來求解 x。

$$\mathrm{x\:=\:\tan(f(x))}$$

對兩邊關於 x 求導

$$\mathrm{1\:=\:\sec^{2}(f(x))f^{'}(x)}$$

$$\mathrm{f(x)\:=\:\frac{1}{\sec^{2}(f(x))}}$$

$$\mathrm{f^{'}(x)\:=\:\frac{1}{\sec^{2}(arc\:tan\:x)}}$$

$$\mathrm{f^{'}(x)\:=\:\frac{1}{1\:+\:x^{2}}\:=\:\frac{d}{dx}\tan^{-1}(x)}$$

反三角函式的導數如下：

函式	$\mathrm{導數\:(\frac{dy}{dx})}$
$\mathrm{y\:=\:\sin^{-1}(x)}$	$\mathrm{\frac{1}{\sqrt{1\:-\:x^{2}}}}$
$\mathrm{y\:=\:\cos^{-1}(x)}$	$\mathrm{-\frac{1}{\sqrt{1\:-\:x^{2}}}}$
$\mathrm{y\:=\:\tan^{-1}(x)}$	$\mathrm{\frac{1}{1\:+\:x^{2}}}$
$\mathrm{y\:=\:\cot^{-1}(x)}$	$\mathrm{-\:\frac{1}{1\:+\:x^{2}}}$
$\mathrm{y\:=\:cosec^{-1}(x)}$	$\mathrm{\frac{1}{\lvert\:x\rvert\:\sqrt{1\:-\:x^{2}}}}$
$\mathrm{y\:=\:\sec^{-1}(x)}$	$\mathrm{-\:\frac{1}{\lvert\:x\rvert\:\sqrt{1\:-\:x^{2}}}}$

例題

1) 求 $\mathrm{y\:=\:\tan^{-1}(x)}$ 的導數

答案：$\mathrm{y\:=\:\tan^{-1}(x)}$

透過在兩邊“撤消”函式來求解 x。

$$\mathrm{x\:=\:\tan(f(x))}$$

對兩邊關於 x 求導

$$\mathrm{1\:=\:\sec^{2}(f(x))f'(x)}$$

$$\mathrm{f'(x)\:=\:\frac{1}{\sec^{2}(f(x))}}$$

$$\mathrm{f'(x)\:=\:\frac{1}{\sec^{2}(arctanx)}}$$

這基本上是答案，但有些人喜歡用直角三角形技術進一步簡化它：

$$\mathrm{f'(x)\:=\:\frac{1}{1\:+\:x^{2}}\:=\:\frac{d}{dx}\:tan^{-1}(x)}$$

2) 求 $\mathrm{y\:=\:\sin^{-1}(x)}$ 的導數

答案：$\mathrm{y\:=\:\sin^{-1}(x)}$

透過在兩邊“撤消”函式來求解 x。

$$\mathrm{x\:=\:\sin(f(x))}$$

對兩邊關於 x 求導。

$$\mathrm{1\:=\:\cos(f(x))f'(x)}$$

除以求解 𝑓′(𝑥)

$$\mathrm{\frac{1}{\cos(f(x))}\:=\:f'(x)}$$

替換 f(x)：

$$\mathrm{\frac{1}{\cos(arc\sin(x))}\:=\:f'(x)}$$

這基本上是答案，但有些人喜歡用直角三角形技術進一步簡化它：

$$\mathrm{f'(x)\:=\:\frac{1}{\sqrt{1\:-\:x^{2}}}\:=\:\frac{d}{dx}\sin^{-1}(x)}$$

3) 如果 $\mathrm{\sec^{-1}(2)\:+\:cosec^{-1}(x)\:=\:\frac{\pi}{2}}$，則使用反三角函式的性質求 x 的值

答案：根據反三角函式的性質。

$$\mathrm{\sec^{-1}(x)\:+\:cosec^{-1}(x)\:=\:\frac{\pi}{2}}$$

給定方程為 $\mathrm{\sec^{-1}(x)\:+\:cosec^{1}(x)\:=\:\frac{\pi}{2}}$

現在比較這兩個方程，得到 x 的值為 2。

4) 求 $\mathrm{\cos^{-1}(\frac{-1}{2})}$ 的主值

答案：設 $\mathrm{y\:=\:\cos^{-1}(\frac{-1}{2})}$

這可以寫成：

$\mathrm{\cos\:y\:=\:\frac{-1}{2}}$

$\mathrm{\cos\:y\:=\:\cos(\frac{2\pi}{3})}$

因此，$\mathrm{\cos^{-1}}$ 的主值範圍為 $\mathrm{[0\:,\:\pi]}$

因此，$\mathrm{\cos^{-1}(\frac{-1}{2})\:的主值為\:\frac{2\pi}{3}}$

結論

反三角函式（也稱為弧函式、反三角函式或反圓函式）是反三角函式的反函式（相應定義的定義域是有限的）。反三角函式的性質基於函式的定義域和值域。

常見問題

1. 反三角函式是什麼意思？

基本圓函式（三角函式）的反函式稱為反三角函式。

2. 六個基本三角函式是什麼？

這些函式是三角函式。六個基本三角函式是正弦函式、餘弦函式、正割函式、餘割函式、正切函式和餘切函式。

3. 三角函式是什麼意思？

三角函式和恆等式是直角三角形的邊長比。在三角函式中使用了六個基本三角函式：正弦、餘弦、正切、正割、餘割和餘切。這些函式是三角函式。

4. 反三角函式有什麼用？

如果知道直角三角形的兩條邊的長度，則可以使用反三角函式求解未知角的度數。

5. $\mathrm{\sin^{-1}(x)\:和\:\cos^{-1}(x)}$ 的值域和定義域是什麼？

$\mathrm{\sin^{-1}(x)\:的值域為\:\frac{-\pi}{2}\:\leq\:y\:\leq\:\frac{\pi}{2}}$

$\mathrm{\cos^{-1}(x)\:的值域為\:0\:\leq\:y\:\leq\:\pi}$

$\mathrm{\sin^{-1}(x)\:的定義域為\:-1\:\leq\:x\:\leq\:1}$

$\mathrm{\cos^{-1}(x)\:的定義域為\:-1\leq\:x\:\leq\:1}$