配對樣本t檢驗

---

介紹

在統計學中，配對樣本t檢驗是一種用於比較兩組樣本之間資料的工具，它確定給定測量值之間的平均差異是否為零。在統計學中，雙樣本t檢驗是用於比較兩個資料集均值的工具。這些檢驗也稱為學生t檢驗，檢驗結果用於評估兩個樣本均值之間的差異。這種差異不太可能是由於抽樣誤差或偶然性造成的。配對樣本t檢驗用於比較兩個資料集的均值，其中我們獲得兩個樣本，並進行比較以確定差異是否為零。

定義

當每個樣本都由一對測量值進行評估時，使用配對樣本t檢驗，其中配對樣本t檢驗確定這些樣本的平均變化是否為零。配對樣本t檢驗用作一種統計程式，使用觀察結果來得出資料集之間的結論。

例如

• 當對同一受試者進行了兩次觀察（例如，特定觀察結果的某人的診斷測試結果）。

• 某類測量的兩組觀察結果，其中兩組觀察結果都屬於同一受試者。（例如，使用身高、體重和年齡的體重指數）。

公式

使用配對樣本t檢驗的公式時，遵循兩個假設，即零假設和備擇假設。

在零假設中，假設配對樣本的均值之差為零。另一方面，在備擇假設中，假設配對樣本之間的差異不為零。根據結果的高低值，備擇假設還有進一步的擴充套件。

上述假設可以表示為：

零假設，H₀：d₁ = d₂ 或 H₀：d₁ - d₂ = 0。

備擇假設，H₁：d₁≠d₂ 或 H₁：d₁ - d₂ ≠ 0。

這裡：

• d₁ 是樣本1的均值

• d₂ 是總體中樣本2的均值

計算配對樣本t檢驗的公式：

$$\mathrm{t = \frac{m}{\frac{s}{√n}}}$$

其中，m 是均值，s 表示均值差 (d) 的標準差，n 表示“d”的大小。

表格

下表是配對樣本t檢驗表，允許將t檢驗中的t值解釋為陳述形式。下表給出：

雙尾顯著性
自由度 (n-1)	$$\mathrm{\alpha=0.20}$$	0.1	0.05	0.02	0.01	0.002
1	3.078	6.314	12.706	31.821	63.657	318.3
2	1.886	2.92	4.303	6.965	9.925	22.327
3	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	10.214
4	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	7.173
5	1.476	2.015	2.571	3.305	4.032	5.893
6	1.44	1.943	2.447	3.143	3.707	5.208
7	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.785
8	1.397	1.86	2.306	2.896	3.355	4.501
9	1.383	1.833	2.262	2.821	3.25	4.297
10	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	4.144
11	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	4.025
12	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.93
13	1.35	1.771	2.16	2.65	3.012	3.852
14	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.787
15	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.733

也稱為依賴樣本t檢驗，這告訴我們兩個觀察結果是配對的或依賴的，因為它們包含相同受試者的資料。

配對t檢驗與非配對t檢驗

配對t檢驗和非配對t檢驗有一些區別，可以列為：

配對t檢驗	非配對t檢驗
用於比較同一組或專案在兩種相似情況下的平均差異。	當比較兩組獨立樣本之間的平均差異時，使用非配對t檢驗。
在非配對t檢驗中，假設兩個資料集之間的方差相等。	在配對t檢驗中，不假設兩個資料集之間的方差相等。
使用兩個因變數。	使用一個因變數和一個自變數。

如何進行配對樣本t檢驗

讓我們假設對n名學生進行了一次模組學習前的診斷測試，然後在完成模組學習後第二次進行相同的診斷測試。現在我們想了解學生在該模組方面的能力（如知識和技能）的具體改進。我們學生群體中的結果可用於比較該模組的效果。

讓我們假設模組1和模組2的結果資料集為A和B，其中$\mathrm{x_i \in A, y_i \in B}$。其中i = 1, 2,……., n。以下是應用配對樣本t檢驗的步驟：

• 根據零假設，我們假設實際均值差為零。

• 計算兩組觀察值之間的差異 (d_i = y_i- x_i)。

• 確定均值差，$\mathrm{\underline{d}}$。

• 評估標準差 (SD)，然後確定標準誤差，$\mathrm{SE(\underline{d}) =SD/\sqrt{n}}$。

• t統計量值由$\mathrm{T=\underline{d}\: SE(\underline{d})}$確定。考慮到零假設，自由度取為“n − 1”。

• 參考t分佈表，並將T與t_n-1分佈進行比較，我們得到配對樣本t檢驗的p值。

已解決示例

讓我們假設學生在兩次不同測試中的分數如下所示。

學生	測試1分數	測試2分數	差異
A	63	69	6
B	65	65	0
C	56	62	6
D	100	91	-9
E	88	78	-10
F	83	87	4
G	77	79	2
H	92	88	-4
I	90	85	-5
J	84	92	8
K	68	69	1
L	74	81	7
M	87	84	-3
N	64	75	11
O	71	84	13
P	88	82	-6

假設

設H₀為分數之間的均值差，假設為零。

設H₁為分數之間的均值差，不認為是零。

均值差；$\mathrm{\overline{d}=1.31}$

標準誤差 − $\mathrm{(\overline{d}) =SD/\sqrt{n}=1.75}$

假設我們的顯著性水平為α = 0.05。

現在我們計算檢驗統計量 t= $\mathrm{(\overline{d})/SE=1.31/1.75=0.750}$

自由度 df=n-1=15。

參考上表，α = 0.05 和 15 個自由度的 t 值為 2.131。

透過將 t 統計量值與 t 值進行比較，我們觀察到 0.750 小於 2.131。因此，我們可以同意我們的假設，即均值差為零。兩次考試似乎同樣困難。

結論

在統計學中，雙樣本t檢驗是用於分析兩個總體均值的工具。這些檢驗也稱為學生t檢驗。檢驗結果用於評估兩個資料集均值之間的差異。

例如，對同一受試者進行了兩次觀察（例如，特定觀察結果的某人的診斷測試結果）。使用配對樣本t檢驗的公式時，遵循兩個假設，即零假設和備擇假設。配對樣本t檢驗可用於比較同一資料集或總體在兩種情況下的均值。另一方面，非配對t檢驗比較兩個獨立資料集的均值。

常見問題

1. 配對樣本t檢驗是否優於非配對樣本t檢驗？為什麼？

人們認為配對樣本t檢驗比非配對樣本t檢驗更準確，因為在配對樣本t檢驗中，相同的因變數消除了樣本之間的顯著偏差，而非配對樣本t檢驗則不然。

2. 在配對樣本t檢驗中，組間的偏差可以相等嗎？

不可以，在配對樣本t檢驗中，組間的偏差不相等。

3. 在非配對樣本t檢驗中，組間的偏差可以相等嗎？

可以，在非配對樣本t檢驗中，組間的偏差相等。

4. 如果非配對樣本t檢驗中組間的偏差不相等，該怎麼辦？

對於非配對樣本t檢驗，如果偏差不匹配，則進行 Welch 檢驗。

5. 零假設和備擇假設之間有什麼區別？

對於零假設，總體的均值差等於零；而在備擇假設中，總體的均值差不等於零。